6.3.2 Ознака відсутності др при реалізації -методу

Якщо в оптимальному розв’язку ЗЛП штучні змінні набувають ненульового значення, то початкова задача не має ДР.

33. Симметричная и несимметричная пары двойственных задач. Построение двойственной задачи для ЗЛП в общей форме (с наличием ограничений вида "<=", "=", ">=" и переменных, не ограниченных в знаке))»

8.1.1 Правила побудови двоїстої задачі

Двоїста задача виходить шляхом структурного перетворення умов прямої задачі відповідно до наступних правил:

1) Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі.

2) Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі.

3) Коефіцієнти при деякій змінній прямої задачі (стовпець), стають коефіцієнтами лівої частини відповідного обмеження двоїстої задачі (рядком).

4) Коефіцієнт при змінній у виразі для цільової функції прямої задачі, стає коефіцієнтом правої частини відповідного обмеження двоїстої задачі.

5) Напрям оптимізації, обмеження і знаки двоїстих змінних формуються згідно таблиці 1.

Таблиця 1

Напрям оптимізації ЦФ ПЗ у канонічній формі	ДЗ
	ЦФ	Обмеження	Змінні
Максимізація	Мінімізація		Не обмежені у знаку
Мінімізація	Максимізація		Не обмежені у знаку

Тут і надалі прийняті наступні скорочення: ПЗ – пряма задача, ДЗ – двоїста задача.

Схематично, зв’язок між задачами зображено на рисунку 1.

Рисунок 1

Таким чином, ДЗ має змінних ( ) і обмежень (що відповідають змінним ПЗ).

Якщо двоїсту задачу розглядати як початкову (пряму), то відповідна їй двоїста задача збігатиметься з прямою. Тобто пряма і двоїста задача є взаємно-двоїстими, тому про них говорять як про пару двоїстих задач.

Далі ми розглядатимемо дві пари двоїстих задач – симетричні і несиметричні.

8.1.2 Симетрична пара двоїстих задач

Пряма задача

,	(1)
,	(2)
.	(3)

Двоїста задача

,	(4)
,	(5)
.	(6)

Покажемо, що згідно п'яти правил побудови ДЗ задача (4)–(6) є двоїстою до задачі (1)–(3).

Спочатку приведемо ПЗ до канонічної форми:

…

,

.

ПЗ в канонічній формі має

обмежень  ДЗ матиме змінних;

змінних  ДЗ матиме обмежень.

Перша група обмежень ДЗ (що відповідає змінним ) така:

,

,

.

.

Друга група обмежень ДЗ (що відповідає змінним ):

,

…

.

Цільова функція ДЗ така: , отже отримали задачу (4)–(6).

8.1.3 Несиметрична пара двоїстих задач

Будується за визначенням ДЗ згідно п'яти правил її побудови.

Пряма задача

,	(7)
,	(8)
.	(9)

Двоїста задача

,	(10)
,	(11)
.	(12)

Символи “ ” означають, що немає обмежень на знак змінної.

Самостійно показати, що задача, двоїста до задачі (10)–(12) збігається із задачею

29. Искусственное начальное решение. М-метод. Вектор относительных оценок небазисных переменных начального ДБР при использовании М-метода для задачи