
- •Основные понятия исследования операций
- •Этапы проведения исследования операций
- •Математические модели операций Детермінована модель
- •Недетермінована модель
- •Классификация задач оптимизации
- •Теорема: Пусть х – выпуклое множество, x1, x2 , ….. , X k – произвольные точки из х. Тогда множество х содержит любую выпуклую линейную комбинацию этих точек.
- •Теорема: Пересечение произвольного числа выпуклых множества является выпуклым множеством. (Доказательство)
- •Задача линейного программирования. Экономическая интерпретация злп. Пропорциональность, аддитивность, неотрицательность Формы злп.
- •Экономическая интерпретация злп
- •Формы злп. Эквивалентность форм злп.
- •1.Формы злп
- •Эквивалентность различных форм злп
- •Базис матрицы а. Базисная матрица в. Базисное решение. Дбр. Нахождение базисного решения. Невырожденное и вырожденное дбр.
- •Доказательство того, что множество дбр системы конечно.
- •Доказательство
- •Принципиальная схема решения злп. Идея симплекс-метода.
- •Преобразованная задача (вывод). Особенности преобразованной задачи в частных случаях применения симплекс-метода (вырожденность, альтернативный оптимум, неограниченное мдр, неограниченная цф).
- •Способ перехода от одного базисного допустимого решения (бдр) к другому. Особые случаи, возникающие при переходе от одного дбр к другому.
- •Теорема (условие оптимальности). Для дбр операция замещения, при которой вводится в базис, изменяет значение цф на величину Если , то оптимально. (Доказательство)
- •Невырожденная и вырожденная злп. Отличия формулировок оптимальности дбр невырожденной и вырожденной злп.
- •5.5 Особливі випадки, що виникають при застосуванні симплекс-методу
- •5.5.1 Виродженість розв’язку
- •5.5.2 Необмежена множина допустимих розв’язків
- •5.5.3 Необмежена цільова функція
- •5.5.4 Альтернативний оптимум
- •Нахождение начального дбр (для стандартной, канонической и общей злп). Преобразованная задача для случая злп в стандартной форме.( "все ограничения типа '' ").
- •Искусственное начальное решение. Методы получения начального дбр.
- •6.2 Штучний початковий розв’язок
- •6.2 Штучний початковий розв’язок
- •6.3.2 Ознака відсутності др при реалізації -методу
- •8.1.1 Правила побудови двоїстої задачі
- •8.1.2 Симетрична пара двоїстих задач
- •8.1.3 Несиметрична пара двоїстих задач
- •6.2 Штучний початковий розв’язок
- •Искусственное начальное решение. Двухэтапный метод. Особые случаи, возникающие при применении метода. Штучний початковий розв’язок
- •Двохетапний метод
- •8.1 Двоїста задача
- •8.1.1 Правила побудови двоїстої задачі
- •8.1.2 Симетрична пара двоїстих задач
- •8.1.3 Несиметрична пара двоїстих задач
- •Доказательство утверждения (Следствие 2 теоремы двойственности 1):. Если цф пз не ограничена сверху, то двз не имеет допустимых решений.
- •Теорема 2 (о равенстве значений пары двойственных задач). Пусть прямая и двойственная задачи имеют решения и соответственно. Тогда выполняется равенство… . (Доказательство)
- •Получение решения задачи по решению двойственной задачи. Особенность симметричных задач
- •Соотношения дополняющей нежёсткости. Свойства взаимосвязанных пар переменных симметричной пары.
- •Алгоритм двойственности алгоритм двоїстості
- •Ценность ресурсов
- •8.5 Цінність ресурсів
- •Постоптимальный анализ. Изменение компонент вектора ограничений. Недефицитный ресурс. (вывод соответствующих соотношений)
- •9.1 Аналіз зміни компонент вектора обмежень
- •9.1.1 Недефіцитний ресурс
- •Постоптимальный анализ. Изменение компонент вектора ограничений. Дефицитный ресурс (ограничение типа “”). (вывод соответствующих соотношений).
- •9.1 Аналіз зміни компонент вектора обмежень
- •Дефіцитний ресурс
- •9.1.2.1 Обмеження виду “”
- •Постоптимальный анализ. Изменение компонент вектора ограничений. Дефицитный ресурс (ограничение типа “”) (вывод соответствующих соотношений).
- •Постоптимальный анализ. Изменение коэффициентов цф - небазисная переменная (вывод соответствующих соотношений)
- •9.2.1 Небазисна змінна
- •9.2.1.1 Задача на максимум
- •9.2.1.2 Задача на мінімум
- •Постоптимальный анализ. Изменение коэффициентов цф - базисная переменная (задача на максимум) (вывод соответствующих соотношений)
- •9.2.2 Базисна змінна
- •9.2.2.1 Задача на максимум
- •Постоптимальный анализ. Изменение коэффициентов цф - базисная переменная (задача на минимум) (вывод соответствующих соотношений)
- •9.2.1.2 Задача на мінімум
- •Постоптимальный анализ. Изменение коэффициентов матрицы ограничений (вывод соответствующих соотношений) Аналіз зміни коефіцієнтів матриці обмежень
- •Двойственный симплекс-метод
- •8.6 Двоїстий симплекс-метод
- •Параметрическое программирование. Параметр в правой части
Применение метода Жордана – Гаусса для реализации симплекс – метода. Симплекс – таблица.
Нахождение начального дбр (для стандартной, канонической и общей злп). Преобразованная задача для случая злп в стандартной форме.( "все ограничения типа '' ").
Для
спрощення викладу матеріалу ми вводили
штучну змінну в кожне обмеження. На
практиці при побудові початкового ДБР
спочатку формується частина одиничної
матриці
,
наскільки це можливо, із стовпців,
відповідних основним
і залишковим
змінним. А потім частина цієї матриці,
що залишилася, доповнюється стовпцями,
що відповідають штучним змінним.
Нехай маємо задачу в загальній формі:
,
,
,
,
.
Приведемо її до канонічної форми.
,
,
,
,
,
.
В
цьому випадку очевидних початкових
базисних змінних не вистачає в останніх
обмеженнях. Отже, достатньо ввести
штучні змінні тільки в ці обмеження.
Тим самим ми сформуємо одиничну початкову
базисну матрицю.
,
,
,
,
,
,
.
У
початковому ДБР маємо:
,
.
Искусственное начальное решение. Методы получения начального дбр.
6.2 Штучний початковий розв’язок
Хай маємо ЗЛП в канонічній формі:
Ідея
підходу припускає включення невід’ємних
змінних в ліву частину кожного з рівнянь,
що не містять «очевидних» початкових
базисних змінних, тобто тих змінних,
які входять тільки в одне рівняння з
коефіцієнтом 1 (у симплекс-таблиці їй
відповідає одиничний стовпець
).
Введемо
в
-е
рівняння невід’ємну змінну
:
,
,
…
,
…
.
Оскільки ці змінні не мають відношення до змісту поставленої задачі, вони отримали назву «штучних». Визначимо вектор штучних змінних:
.
Тоді
система обмежень в матричній формі має
вигляд:
.
Штучні
змінні забезпечують отримання початкового
базису, тобто виконують ту ж роль, що і
залишкові змінні
(тобто вони використовуються тільки
для отримання «стартової» точки).
Т.ч.
початкове штучне рішення:
.
Введення штучних змінних допустимо тільки в тому випадку, якщо відповідна схема обчислень змушуватиме ці змінні набувати нульових значень в кінцевому оптимальному розв’язку, забезпечуючи допустимість оптимуму. Для цього потрібно накласти «штраф» за використання штучних змінних. Розроблені два тісно зв'язаних між собою методи отримання початкового ДБР, в яких використовується «штрафування» штучних змінних:
––
-метод
(або метод великих штрафів);
–– двохетапний метод.
МЕТОДЫ
6.1 Знаходження ДБР ЗЛП в стандартній формі
6.2 Штучний початковий розв‘язок
6.3 М-метод
6.4 Двохетапний метод
Искусственное начальное решение. Двухэтапный метод. Вектор относительных оценок небазисных переменных начального ДБР при использовании М-метода для задачи , ,
, . Признак отсутствия допустимых решений.
6.2 Штучний початковий розв’язок
Хай маємо ЗЛП в канонічній формі:
Ідея підходу припускає включення невід’ємних змінних в ліву частину кожного з рівнянь, що не містять «очевидних» початкових базисних змінних, тобто тих змінних, які входять тільки в одне рівняння з коефіцієнтом 1 (у симплекс-таблиці їй відповідає одиничний стовпець ).
Введемо в -е рівняння невід’ємну змінну :
,
,
…
,
…
.
Оскільки ці змінні не мають відношення до змісту поставленої задачі, вони отримали назву «штучних». Визначимо вектор штучних змінних:
.
Тоді система обмежень в матричній формі має вигляд: .
Штучні змінні забезпечують отримання початкового базису, тобто виконують ту ж роль, що і залишкові змінні (тобто вони використовуються тільки для отримання «стартової» точки).
Т.ч. початкове штучне рішення: .
Введення штучних змінних допустимо тільки в тому випадку, якщо відповідна схема обчислень змушуватиме ці змінні набувати нульових значень в кінцевому оптимальному розв’язку, забезпечуючи допустимість оптимуму. Для цього потрібно накласти «штраф» за використання штучних змінних. Розроблені два тісно зв'язаних між собою методи отримання початкового ДБР, в яких використовується «штрафування» штучних змінних:
–– -метод (або метод великих штрафів);
–– двохетапний метод.
Компоненти вектора відносних оцінок небазисних змінних:
,