5.5.4 Альтернативний оптимум

Ознака альтернативного оптимуму: ,

(одна чи декілька небазисних змінних мають нульову відносну оцінку).

Ознака альтернативного оптимуму по симплекс-таблиці відповідного розв’язку:

Базисні змінні		…							Розв’язок
				>0		0		>0
	1
…
		1
…
			1

Можливі три таких випадки:

1) альтернативний оптимум –(нескінчена) обмежена множина;

2) альтернативний оптимум – (нескінчена) необмежена множина;

3) при наявності ознаки альтернативного оптимуму оптимумальною є єдина точка.

24. Схема симплекс - метода. Зацикливание. Методы борьбы с зацикливанием.

Рассмотренный ранее способ перехода от одного ДБР к другому, а также последние теоремы позволяют построить так называемый симплекс – метод решения ЗЛП в канонической форме, который имеет следующую схему:

(не давать – методич. указаниях)

Шаг 0. Построение начального ДБР

Найти некоторое ДБР исходной ЗЛП (такое ДБР называется начальным). Пусть данному ДБР соответствует

• базис В,

• базисная матрица В,

• небазисная матрица N,

• вектор базисных переменных ,

• небазисных переменных ,

• вектор оценок ограничений . (в опт.реш. это ценности ресурсов)

Шаг 1. Вычисление компонент вектора относительных оценок небазисных переменных.

.

Шаг 2. Проверка выполнения условия оптимальности.

Если выполняется , то прекратить вычисления – текущее ДБР является решением исходной задачи.

Шаг 3. Выбор небазисной переменной , вводимой во множество базисных переменных.

Выбрать p, для которого

(Обычно р соответствует минимальная отрицательная компонента = максимальная по модулю отрицательная)).

Шаг 4. Выбор базисной переменной, исключаемой (выводимой) из множества базисных переменных.

Вычислить элементы ведущего столбца: .

Условие допустимости

Если , то прекратить вычисления – целевая функция не ограничена сверху.

Иначе выбрать q, для которого выполняется , т.е. переменная будет исключена из множества базисных переменных.

Шаг 5. Операция замещения.

Построить базис нового ДБР путем замены столбца текущего базиса В на столбец . Построить новую базисную матрицу В и небазисную . Найти новое ДБР с . Перейти на шаг1.

Последовательность шагов 1-5 называется итерацией симплекс – метода.

Если после каждой итерации значение ЦФ увеличивается, то симплекс-методом перебираются различные вершины. Т.к. вершин конечное число, то за конечное число итераций будет получено решение задачи. Если же после некоторой итерации значение ЦФ не увеличивается , то в процессе перебора некоторые вершины могут повторяться и не исключено, что может быть получена последовательность ДБР периодически повторяющихся и не являющихся оптимальным решением ЗЛП. Это явление называется зацикливанием.

Если задачи имеют небольшие размерности, случаи зацикливания редки. Однако, вероятность этого растет по мере роста размерности задачи. [Муртаф, с.30]

С геометрической точки зрения зацикливание объясняется вырожденностью текущего решения.

С практической точки зрения вырожденность объясняется наличием избыточных ограничений:

С вычислительной точки зрения, причина зацикливания – не единственность выбора выводимой переменной.

Чтобы исключить зацикливание, был разработан ряд приёмов.

1. Вырожденному ДБР геометрически соответствует вершина в n – мерном протстрантве, которая получается пересечением гиперплоскостей, число которых больше n. Поэтому, заменив вектор b на вектор b() можем добиться того, чтобы каждая вершина была пересечением n гиперплоскостей

Т.е. задача

заменяется задачей

Для исключения вырожденности в вектор b вносятся небольшие возмущения:

,

 - достаточно малое.

Тогда, если b() – вектор правых частей и B= - текущий базис, то

. (3)

2. Второй, более эффективный, прием устранения зацикливания был разработан Блендом. (Ашманов, Тимохов, стр.146)

Сначала определим два множества, пусть

- множество индексов (номеров) базисных переменных;

- множество индексов (номеров) небазисных переменных.

Теорема Бленда(правило устранения зацикливания)

Если переменная, вводимая в базис определяется так:

,

а переменная, выводимая из базиса так:

,

где , то зацикливание симплекс-метода невозможно.

Без доказательства.

ИТАК:

Если исходная ЗЛП является невырожденной, то очевидно, что симплекс – метод за конечное число шагов находит решение задачи (если применить правило Блэнда, то и для вырожденной ЗЛП получим решение за конечное число шагов).