Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

До сих пор мы ограничивались рассмотрением дифференциальных уравнений первого порядка, т.е. таких уравнений, в которые искомая функция входит только под знаком первой производной. Но в приложениях часто встречаются дифференциальные уравнения старших порядков, т.е. уравнения, которые содержат производные искомые функции второго или еще более высокого порядка. Мы ограничимся рассмотрением только линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(1)

где a и b- пара действительных чисел, а - непрерывная функция, определенная на некотором промежутке Если на указанном промежутке, то, как и ранее, уравнение (1) называется однородным;

в противном случае- неоднородным.

Рассмотрим сначала способ построения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

(2)

В теории линейных дифференциальных уравнений доказывается следующее утверждение.

Теорема 1. Общим решением уравнения (2) является функция

(3)

где и - пара произвольных действительных чисел, а и - пара решений уравнения (2), таких, что их частное отлично от постоянной величины.

Мы примем эту теорему без доказательства.

Будем искать решение уравнения (2) в виде

Теорема 2. Для того чтобы функция являлась решением уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы число являлось корнем уравнения

(4)

Доказательство. Очевидно, что для указанной функции будем иметь и Но тогда условие « решение уравнения (2)» эквивалентно условию « », а это последнее- уравнению (4).

Теорема доказана.

Примечание. Уравнение (4) носит название характеристического уравнения для дифференциального уравнения (2).

Рассмотрим различные случаи разрешимости уравнения (4).

Случай 1. Дискриминант уравнения (4) положителен.

В этом случае уравнение (4) имеет два действительных различных корня, которые мы обозначаем и Каждый из этих корней порождает соответствующее решение и Очевидно, что отношение функций и отлично от постоянной величины, и поэтому общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (2) будет иметь вид:

Случай 2. Дискриминант уравнения (4) равен нулю.

Условие равенства нулю дискриминанта уравнения (4) эквивалентно условию В этом случае уравнение (4) имеет два совпадающих корня:

Эти корни порождают одно частное решение уравнения (2), и для построения общего решения уравнения (2) нам необходимо еще одно решение.

Покажем, что в рассматриваемом случае еще одним решением уравнения (2) будет функция

Действительно,

Подставляя эти выражения в уравнение (2), получим

(здесь учтено, что ).

Очевидно, что и в этом случае отношение функций и отлично от постоянной, и поэтому общее решение уравнения (2) будет иметь вид:

(6)

Третий случай- случай, когда дискриминант уравнения (3) будет отрицательным, будет рассмотрен нами позже.

Пример 1. Построим общее решение уравнения

Решение. Характеристическое уравнение (4) для дифференциального уравнения будет иметь вид: а его корнями будут числа и Это означает, что мы имеем случай 1 (случай положительного дискриминанта уравнения (4)), и общее решение рассматриваемого уравнения в соответствии с формулой (5) будет иметь вид:

Пример 2. Построим общее решение уравнения

Решение. Для данного дифференциального уравнения характеристическое уравнение (4) будет иметь вид: Дискриминант этого уравнения равен нулю, и мы имеем случай 2. Корнями характеристического уравнения (4) будут а общее решение, в соответствии с формулой (6), имеет вид

Перейдем теперь к рассмотрению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (1).

Принципиальное значение в проблеме построения его общего решения имеет следующая теорема.

Теорема 3. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

(7)

где величина представляет собой общее решение соответствующего однородного уравнения (2), а величина - суть некоторое частное решение неоднородного уравнения (1).