§13Дифференциальные уравнения

Некоторые понятия теории дифференциальных уравнений.

Многие процессы экономики, физики, химии, астрономии, биологии описываются одной функцией у=у(х), заданной на некотором множестве Х или несколькими функциями. Эти функции могут изменяться во времени.

Рассмотрим некоторые процессы, математические характеристики которых приводят к дифференциальным уравнениям.

Задача 1

Определить кривую, проходящую через точку (1;1) такую, что угловой коэффициент касательной в каждой её точке равен удвоенной ординате точке касания.

Пусть искомая кривая является графиком функции у=у(х). Существование касательной в каждой точке кривой означает существование производной в каждой точке х области определения функции у=у(х) .Тогда тангенс угла наклона касательной к рассматриваемой кривой в точке с координатами (х;у) равен и по условию задачи, он же равен 2у(х).Таким образом, получаем следующее соотношение , связывающее искомую функцию и её производную.

Все функции, удовлетворяющие данному уравнению, имеют вид .

То, что эти функции удовлетворяют полученному уравнению, проверяется непосредственной подстановкой.

Из всей совокупности кривых, задаваемых формулой выберем ту, что проходит через точку (1;1) :

.

Поэтому уравнение искомой кривой имеет вид: .

Определение.

Пусть некоторый процесс описывается функцией у=у(х), заданной и n>1 раз дифференцируемой на некотором множестве Х; эта функция неизвестна, но известна функциональная зависимость между независимой переменной х, и её производными до n-го порядка. Тогда уравнение (1) называется дифференциальным уравнением n-го порядка.

Порядок наивысшей производной (или дифференциала), входящей в дифференциальное уравнение, называется его порядком.

Определение.

Любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению (1) называется решением или интегралом этого уравнения.

Определение.

Решение дифференциального уравнения, если оно существует, число произвольных постоянных которого равно порядку уравнения, называется общим решением данного дифференциального уравнения.

Определение.

Решение дифференциального уравнения при определенных значениях произвольных постоянных называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения I порядка

Простейшим дифференциальным уравнением I порядка называется дифференциальное уравнение вида (2) , где f(x) – функция, определенная и непрерывная на некотором множестве Х R

Общее решение уравнения (2) может быть записано в виде , где F(x) - одна из первообразных функции f(x), С – произвольное действительное число.

Пример 1.

Запишите общее решение дифференциального уравнения

Одна из первообразных функции будет .

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения

Пример 2.

Найдите решение следующей задачи

Функция определена на каждом из промежутков

Одной из первообразных функции будет область определения которой совпадает с указанным выше интервалом.

Тогда общее решение имеет вид . Подберем значение С так, чтобы получить решение задачи . Подставляя в общее решение, получаем . Итак, решением рассматриваемой задачи будет функция .

Представив производную в виде отношения дифференциалов , уравнение (2) можно записать в так называемой дифференциальной форме:

, где - некоторые функции переменных х и у.

Если функция такова, что её можно представить в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией переменной х , а другая – переменной у, то уравнение (2) можно записать в виде:

(3)

В таком случае уравнение называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Например, уравнение можно записать в виде (3)

Уравнение нельзя представить таким образом.

Итак, уравнение с разделяющимися переменными - .

Общее решение получают в виде: (4)

.

Пример

а)

б)

Определение.

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение вида (5)

где - функции, определенные и непрерывные на

Если на , то уравнение (5) называется однородным:

Однородное дифференциальное уравнение I порядка относится к типу уравнений с разделяющимися переменными.

Полагая, что и разделив последнее уравнение, получим

Из него находим, что

Итак, - это и есть общее решение однородного дифференциального уравнения I порядка.

Пример.

Постройте общее решение уравнения

Уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением I порядка.

В рассматриваемом примере , значит ,

Подставим найденный интеграл в формулу общего решения

Теорема.

Пусть - функции, определенные и непрерывные на . Тогда общее решение уравнения (5) имеет вид (6)

Это утверждение проверяется непосредственной подстановкой.

Пример.

Постройте общее решение уравнения

Это дифференциальное неоднородное уравнение I порядка, поэтому общее решение будем искать по формуле (6).

, значит

- общее решение искомого уравнения.