Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла.

Рассмотрим функцию определенную и непрерывную на некотором отрезке числовой прямой. Разобьем на n отрезков длины точками . На каждом i-том отрезке берем произвольную точку . Вычисляем значение функции в каждой из этих точек и умножаем его на длину соответствующего отрезка . После чего суммируем по всем отрезкам .

Полученное выражение называют интегральной суммой. Понятие интегральной суммы играет определяющую роль в определении всех интегралов.

Если предел интегральной суммы при стремлении к нулю максимальной длины не зависит ни от способа разбиения отрезка на промежутки , ни от способа выбора точек в каждом из этих промежутков, то он называется определенным интегралом от функции в пределах от а до b и обозначается: .

Свойства определенного интеграла.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Если для всех , то

7. , если a<b.

8. Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на , то существует точка , такая что

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть непрерывна на и переменная . Тогда совокупность всех первообразных для этой функции можно выразить формулой . Легко видеть, что . Откуда, заменив переменную интегрирования снова на х, получим формулу Ньютона –Лейбница:

Для того чтобы вычислить определенный интеграл, прежде всего вычисляется одна из первообразных F(x), затем вычисляется значение этой функции в точке b и вычитается её значение в точке а.

Пример.

Вычислить

.

*Вычислить интегралы.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

*Вычислить интегралы, используя подходящие замены переменной.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

*Вычислить, используя интегрирование по частям.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Часть плоскости, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется при помощи определенного интеграла.

В случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b, лежит под осью Ох, площадь находится по формуле:

Если фигура, ограниченная кривой у=f(x) , осью Ох и прямыми х=a, х=b, расположена по обе стороны от оси Ох, то:

Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися прямыми кривыми , где и прямыми х=a, х=b,тогда площадь находится по формуле:

*Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. , где - точки в которых функция, задающая первую линию, имеет максимум.