§12 Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл и его свойства
Будем считать, что мы достаточно хорошо
освоили операцию дифференцирования
одной переменной и, используя таблицу
производных и основные правила
дифференцирования, уверенно вычисляем
производные основных элементарных
функций и различных алгебраических
выражений, содержащих эти функции. Так,
например,
и
т.п., каждый раз по заданной функции
F(x)
находим её производнуюf(x)
то есть
.
Вполне естественно поставить обратную
задачу: по заданной производной f(x)
, некоторой функции восстановить саму
функцию F(x).
Например, если
,
что легко проверяется дифференцированием.
Определение
Пусть
функции f(x)
и F(x)
определены на (a;b).
Если функция F(x)
имеет
производную на (a;b)
и для всех х
из
этого интервала выполняется равенство
(1),
то функция F(x)
называется первообразной для функции
f(x)
на интервале (a;b).
Теорема
Если
определенная на интервале (a;b)
функция f(x)
имеет на нем хотя бы одну первообразную
F(x),
то она имеет на этом интервале бесконечное
множество первообразных, элементами
которого являются функции F(x)+С,
и только они.
Пример.
Каждая
из функций
,
где С
– произвольное действительное число,
является первообразной для функции
на R.
Из теоремы очевидно, что при любом действительном С график функции F(x)+С получается из графика функции F(x) путем параллельного переноса последнего на величину С вдоль оси ординат.
Таким образом, теорема утверждает, что вся
совокупность графиков первообразных функции f(x)
получается из одного из них путем всевозможных
параллельных переносов этого графика вдоль оси
ординат.
Определение.
Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на интервале (a;b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом интервале.
Обозначается:
Функция f(x)
называется подынтегральной,
знак
называется
знаком интеграла, а выражение
, записываемое справа от него: f(x)dx
– подынтегральным выражением.
Нахождение неопределенного интеграла от функции f(x), заданной на некотором интервале , называется интегрированием.
В
соответствии с определением и теоремой
выше, можно записать:
(2)
Если первообразная (а значит, и неопределенный интеграл) для функции f(x) на интервале (a;b) существует, то подынтегральное выражение представляет собой дифференциал любой из этих первообразных.
Пусть
F(x)
– некоторая первообразная на (a;b)
, т.е. для любого х
из (a;b)
выполняется
,
тогда
(3)
Функция
одна из первообразных для функции
на всей числовой прямой, т.е.
Функция
является одной из первообразных для
функции
на (-1;1), значит
на (-1;1)
Основные свойства неопределенного интеграла
1°
2°
Из
(2) следует
3°
Это свойство следует из (2) и (3)
4°
Для
доказательства этого свойства достаточно
показать, что если F(x)
и G(x)
первообразные
функций f(x)
и g(x)
соответственно, то функция
является первообразной для функции
5°
Эти свойства и таблица интегралов позволяет вычислить многие интегралы от несложных выражений.
Таблица неопределенных интегралов
Единого метода вычисления неопределенных интегралов не существует, но общая идея – преобразовать подынтегральное выражение так, чтобы можно было применить таблицу интегралов. Ниже приводится несколько примеров, показывающих как с помощью обычных алгебраических преобразований подынтегральной функции и свойств 3 и 4 неопределенного интеграла, исходный интеграл сводится к нескольким табличным интегралам.
Примеры.
.
.
.
Несколько стандартных правил интегрирования
Правило подведения под знак дифференциала.
Правило основано на следующем очевидном
утверждении, которое следует из
инвариантности формы первого
дифференциала: если
,
где х – независимая переменная, то
верно и равенство
,
где u=u(x)
– функция от х.
Например,
ит.п.
На практике, исходный вид вычисленных интегралов обычно имеет другую форму:
и сведение их к табличным интегралам
обеспечивается равенством
То есть, используется таблица производных,
прочитанная справа-налево. В первом
случае под знак дифференциала внесли
cosx, во-втором -
.
Примеры.
.
Здесь воспользовались
,
так как
Следует отметить, что рассмотренное правило является частным случаем более общего правила замены переменной.
Правило замены переменной.
Утверждение, на котором основывается предыдущее правило, но записанное в виде
,
где
- дифференцируемая функция, множество
значений которой является областью
определения функции
.
Естественно, как и ранее, мы предполагаем
существование всех указанных интегралов.
Из этой формулы следует и смысл замены
переменной: функцию
стараются подобрать так, чтобы
подынтегральное выражение
,
в полученном после преобразований
интеграле, было проще исходного.
Примеры.
.
Правило интегрирования по частям.
Дифференциал произведения двух функций
и
определяется формулой
.
Перепишем равенство в виде
и
проинтегрируем обе части. С учетом
свойств интеграла, получим формулу
интегрирования по частям:
С помощью этой формулы обычно вычисляются
интегралы от функций представляющих
произведение многочлена на
причем в первых трех случаях за
обозначают многочлен, а в последнем
.
Поскольку в правой части формулы вместо
функции
появляется дифференциал этой функции
,
то есть возможность получить интеграл
проще, если дифференциал функции проще,
чем сама функция. После того как сама
функция
выбрана, оставшееся под интегралом
выражение обозначаем
,
тогда сама функция
.
Примеры.
Задания для самоконтроля
*Вычислить интегралы, преобразовав подынтегральную функцию так, чтобы можно было использовать таблицу интегралов.
*Вычислить интегралы, используя подходящую замену переменных.
*Вычислить интегралы методом интегрирования по частям
