§9 Вычисление дифференциала функции
Дифференциалом функции у=f(x)
называется произведение производной
этой функции
на
произвольное приращение аргумента
:
Дифференциал аргумента равен приращению
аргумента :
.
Поэтому дифференциал функции
равен произведению её производной на
дифференциал аргумента:
Дифференциалом второго порядка
называется дифференциал от дифференциала
первого порядка:
,
т.е. дифференциал второго порядка
функции у=f(x)
равен произведению второй производной
этой функции на квадрат дифференциала
аргумента.
Пример1
Найти дифференциалы первого порядка следующих функций:
*Найдите дифференциалы первого порядка следующих функций:
*Найдите дифференциалы второго порядка следующих функций:
§10 Приближенные вычисления.
Формулу
используют для приближённого вычисления
значений функций. Допускаемая при этом
погрешность мала при малых значениях
,
т.е. близких к
.
Применяя данную формулу легко получить
различные формулы для нахождения
приближенных числовых значений.
Приближенное вычисление степеней.
Рассмотрим функцию
.
Пусть аргумент х получает малое
приращение
.Вычислим
приближенное значение функции
Пример1
Найти приближенное значение
.
Полагая, что х = 4,
=0,012,
получим,
(точный
ответ 16,096144)
Приближенное вычисление корней.
Рассмотрим функцию
.
Пусть аргумент х получает малое
приращение
.Вычислим
приближенное значение функции
Пример2
Найти приближенное значение
.
Полагая, что х = 1,
=0,006,
получим,
Приближенное вычисление синусов и
тангенсов малых углов.
Пусть для функции
аргумент х=0 получает малое приращение
.
Вычислим приближенное значение функции:
Синус малого угла приближенно равен
самому углу (угол берется в радианной
мере). Аналогичным образом можно
показать, что имеет место приближение
Пример3
Вычислить
Т.к.
рад,
то sin0.0035=0.0035. По
таблице натуральных значений синуса
находим
*Найдите приближенное значение степеней:
*Найдите приближенное значение корней:
*Вычислите:
§11 Применение производной к исследованию функции
Функция y=f(x)
называется возрастающей в
промежутке
,
если для любых
и
,
принадлежащих этому промежутку и таких
, что
<
,
имеет место неравенство
.
f(х2)
f(х1)
Функция y=f(x)
называется убывающей в промежутке
,
если для любых
и
,
принадлежащих этому промежутку и таких
, что
<
,
имеет место неравенство
.
f(x1)
f(x2)
Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.
Возрастание и убывание функции y=f(x) характеризуется знаком её производной.
Теорема
Для того чтобы дифференцируемая на
функция y=f(x)
не убывала (не возрастала) на этом
интервале, необходимо и достаточно
чтобы
для всех х из этого интервала.
Если же для любого х из
то функция y=f(x)
монотонно возрастает (монотонно убывает)
на этом интервале.
Из теоремы следует, что для того чтобы
функция y=f(x)
была постоянной на
,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие:
Внутренние точки области определения, в которых производная не существует или равна нулю, называются критическими.
Точка
из области определения D(f)
точкой максимума (минимума) этой функции,
если существует такой интервал
,
,
не выходящий из области определения
D(f),
что для всех х ≠
,
выполняется неравенство
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумы функции.
Следующая теорема показывает, что точки экстремума следует искать среди критических точек функции.
Теорема Ферма
Если точка
-
точка экстремума функции y=f(x)
и в этой точке существует производная,
то
Свойство выпуклости (вогнутости) функции как и монотонности интуитивно понятно из геометрических представлений о графике функции:
а) б)
График а) естественно назвать выпуклым вверх, а график б) - выпуклым вниз.
Введем понятие выпуклости для дифференцируемых функций на интервале в каждой точке графика функции, в которой можно провести касательную.
Определение. Дифференцируемая
на интервале (а;b)
функция f(x)
называется выпуклой вверх (вниз),
если для любого
и
х из этого промежутка справедливо
неравенство:
(
)
Т.е. дифференцируемая функция выпуклая вверх (вниз) на (а;b) если все точки графика функции лежат не выше (не ниже) касательной, проведенной к графику функции в любой точке из (а;b).
Теорема(достаточное условие выпуклости функции)
Пусть функция у=f(x)
определена и дважды дифференцируема
на (а;b),
существует
тогда если
>0
на (а;b),
то на этом промежутке
функция выпуклая вниз (вогнутая),
если
<0,
то на этом промежутке функция выпуклая
вверх (выпуклая).
Определение. Точка из D(f) функции f(x) называется точкой перегиба, если:
1.в этой точке функция непрерывна;
2.существует интервал (а;b),
такой, что на интервалах
направления
выпуклости противоположны, т.е. в точке
выпуклость
сменяется вогнутостью или наоборот.
Теорема. (необходимое условие точки перегиба)
Пусть дана функция у=f(x)
дважды дифференцируемая на (а;b).
Если в точке
график имеет перегиб и существует
конечная вторая производная
,
то
=0.
Теперь можно указать схему исследования функции на выпуклость (вогнутость):
Устанавливаем D(f)
Находим вторую производную
Определяем точки разрыва второй производной и из уравнения =0 – нули второй производной
Найденными точками разбиваем D(f) на интервалы, в каждом из которых определяем знак второй производной. Строим кривую знаков.
По кривой делаем вывод о выпуклости (вогнутости) функции и наличии точек перегиба.
Пример.
Исследовать
на выпуклость функции а)
, б)
а) Область определения данной функции D(f)=R
Нулей не имеет . Точкой разрыва является точка =0
- -
На
интервалах (-
;0)
и (0;
)функция
выпуклая вверх. Точек перегиба нет.
б) D(y)=R \ {0}
Точка
разрыва второй производной
=0,
нули второй производной найдем из
уравнения
+ - +
-2
0
0
На
(-
;-2)
и (0;
)
функция выпуклая вниз (вогнутая), на
(-2;0)-
выпуклая
вверх (выпуклая),
точка перегиба.
Наиболее полное исследование функции и построение её графика можно провести по следующей схеме:
Найти область определения функции.
Четность, периодичность.
Исследовать функцию на непрерывность: наличие точек разрыва, их характеристика; асимптоты графика.
Найти точки пересечения графика с осями координат.
Определить критические точки, промежутки возрастания и убывания функции, а также экстремумы функции.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Построение графика.
Пример.
Построить
график функции
1.
2.Функция не является ни чётной ни нечётной; кроме того, она не является периодической.
3.Функция непрерывна в области определения.
х=2 – точка разрыва
Исследуем функцию в окрестности точки х=2
Следовательно, х=2 – вертикальная асимптота
Найдем
наклонные:
является
наклонной асимптотой графика функции.
4.
(0;
),
(-1;0) – точки пересечения с координатными
осями.
5.
-
критические точки.
+ - - +
Найдем экстремумы функции:
6.
Вторая производная в нуль не обращается на всей области определения функции.
- +
