§7 Дифференцирование функций

Правила дифференцирования

Таблица производных основных функций

Пример.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

УПРАЖНЕНИЕ:

Найдите производные функций

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

§7 Уравнение касательной и нормали к плоской кривой

у₀

у₁

Пусть дана кривая L, заданная уравнением . Возьмем на ней фиксированную точку М_о(х₀;у₀)_. Если точка М₁(х₁;у₁) тоже принадлежит кривой L, то прямая М₀ М₁ называется секущей. Будем перемещать М₁ вдоль L так, чтобы

М₁ стремилась к совпадению с М₀ . Предельное положение секущей М₀ М₁ (если оно существует) при

М₁ →М₀ называется касательной к кривой L в точке М₀.

Обозначим:

Т.к. М₁ →М_{0, ,} где k – угловой коэффициент касательной.

В этом и заключается геометрический смысл производной функции:

- производная функции равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику данной функции в точке с абсциссой , а также тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс.

Уравнение касательной, проведенной к кривой, заданной графиком , в точке М_о(х₀;у₀) с конечным угловым коэффициентом запишется так:

Из вышеизложенного видно, что наличие в точке графика функции касательной, непараллельной оси ординат (т.к. ), эквивалентно дифференцируемости функции в соответствующей точке.

Кроме касательной к графику функции в некоторой точке М_о(х₀;у₀)_, рассматривается и другая прямая, проходящая через эту точку. Прямая, перпендикулярная касательной к кривой и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Из определения нормали следует, что её угловой коэффициент связан с угловым коэффициентом касательной равенством, выражающим условие перпендикулярности двух прямых. Тогда уравнение нормали запишется так:

Если же , то нормаль параллельна оси ординат.

П ример1. Напишите уравнение касательной и нормали к линии в точке

1/2

1/4

М

В рассматриваемом примере

Найдем

Подставим полученные значения в уравнения

касательной и нормали.

Пример2. Определите угол наклона касательной, проведенной к кривой в точке с абсциссой

Т.к. , то следует найти производную.

*Составьте уравнение касательной и нормали к графику в точке

1. 

2. 

3. 

*Найдите углы, которые образуют касательные к кривым, проведенные в точке пересечения с осью абсцисс

1. 

2. 

*В какой точке графика функции касательная наклонена к оси Ох под углом ?

1. 

2. 

*Является ли прямая касательной к графику функции

*Найдите точки, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

*Найдите уравнение прямой, проходящей через точку Р(0;2), касающейся графика функции и пересекающей в двух различных точках параболу