Применение принципа максимума к объектам с линейным вхождением сигнала управления, двухточечная краевая задача.
Многие реальные объекты управления с известным приближением могут быть описаны системой линейных дифференциальных уравнений. В связи с этим рассмотрим возможности принципа максимума при решении задачи оптимального быстродействия в линейных системах.
Пусть
объект управления n-го порядка с m
управляющими воздействиями описывается
уравнениями 
(1)
где
,
-
постоянные коэффициенты, а управляющие
воздействия ограничены по величине:
(2)
Составим функцию Гамильтона
(3)
Согласно
принципу максимума оптимальное уравнение
должно обеспечить максимум функции
.
Анализируя (3), легко убедиться в том,
что функция
достигает максимума, если управление
выбрать в виде кусочно-постоянной
функции.
(4)
При
этом каждая составляющая вектора
управления должна изменяться в пределах
области управления
независимо от остальных составляющих
и должна поддерживаться равной своим
предельным значениям.
При
областью
допустимых управлений является интервал
(рис.)
В
этом случае управление, доставляющие
максимум функции
,
имеет вид
(5)
Управление
удерживается на границе области
допустимых значений в каждый момент
времени
за
исключением моментов
,
когда
(рис.)
В
точках
значение
не определено. На интервале времени
оптимальное управление находится на
одном из своих предельных значений
и изменяет знак при
после прохождения функции
через нуль. Таким образом, оптимальное
по быстродействию управление является
релейным.
При
,
как видно из (4) вектор управления
в процессе оптимального управления
принимает в пространстве управления
положения, соответствующие вершинам m
-мерного параллелепипеда допустимых
управлений. Например, при
,
управления принимают значения в вершинах
параллелограмма (рис).
В этом случае для произвольного момента времени существуют только четыре возможные комбинации управления (см. рис. 4)
,
,
,
Рис. 4
Моменты
времени
,
в которые производится смена знака
управляющих воздействий, называются
моментами переключения. Эти моменты
переключения представляют собой корни
системы уравнений 
(6)
которые
могут быть найдены, если известны функции
.
Функции являются решениями сопряженной системы дифференциальных уравнений, имеющей в рассматриваемом случае следующий вид:
(7)
Однако
они не могут быть найдены непосредственно
путем решения системы уравнений (7),
поскольку неизвестны начальные условия
. Последние должны быть определены при
совместном решении сопряженной системы
уравнений и уравнений системы объекта
управления из условия, что оптимальная
траектория проходит через конечную
точку. Подставив выражение (4) для
в (1), получим вместе с (7) систему
уравнений с
неизвестными и краевыми условиями:
(8)
; 
(9)
; 
(10)
Таким
образом, при помощи принципа максимума
задача определения оптимального по
быстродействию уравнения
и оптимальной фазовой траектории
сводится к двухточечной краевой задаче
для системы дифференциальных уравнений
(8)-(9). На пути решения краевых задач для
дифференциальных уравнений имеются
большие трудности, поскольку нет
аналитических способов определения
в явном виде и для их нахождения использует
приближенный метод (метод итераций).
Поэтому, при решении конкретных задач
оптимального по быстродействию управления
принцип максимума используется, как
правило, для определения формы оптимального
управления, а для нахождения параметров
управляющих воздействий, к которым
относятся моменты переключения и знак
на первом интервале, используют исходные
уравнения объекта и физические
соображения.