6. Концентрация носителей в полупроводнике. Концентрация носителей и положение уровня Ферми в собственном полупроводнике.

Зная плотность квантовых состояний в зонах полупро­водника и вероятность их заполнения, можно определить кон­центрацию электронов и концентрацию дырок, приходящих­ся на энергетический интервал dE в соответствующих зонах:

(1.6,а)

(1.6,б)

Для нахождения полных концентраций носителей в зонах полупроводника проинтегрируем уравнения (1,6, а) и (1.6, б). Сначала найдем концентрацию электронов:

(1.7)

где E_max— верхний уровень или потолок зоны проводимости. Но так как функция распределения Ферми—Дирака имеет очень резкую зависимость от Е и уже вблизи дна зоны про­водимости быстро опадает до нуля, верхний предел интегри­рования можно положить равным бесконечности. Тогда, под­ставляя в (1.7) значения N(E) и f_n(E,T) (сразу используем функцию Максвелла—Больцмана), получим

. Пояснение

Введем новую переменную интегрирования . Тогда

, (1.8)

где — эффективная плотность квантовых состояний в зоне проводимости. По физическому смыслу N_С близка к плотности энергетических уровней вблизи дна зоны проводимости. Аналогичным образом можно найти концентрацию дырок в валентной зоне:

, (1.9)

где — эффективная плотность квантовых состояний в валентной зоне. В дальнейшем будем предпола­гать, что N_c=N_v=10¹⁹ см^-3 при Т=300 К, которую будем считать комнатной температурой. Уравнения (1.8) и (1.9) носят общий характер и при дан­ной температуре позволяют определить концентрацию элек­тронов в соответствующих зонах полупроводника, если из­вестно положение уровня Ферми. Однако, поскольку поло­жение уровня Ферми в свою очередь определяется соотноше­нием концентраций электронов и дырок в зонах полупровод­ника, то на практике уравнения (1.8) и (1.9) используются для нахождения уровня Ферми по известным концентрациям носителей, которые предварительно оцениваются для, каждо­го конкретного полупроводника.

Концентрация носителей и положение уровня Ферми в собственном полупроводнике

В собственном полупро­воднике генерация электрона всегда сопровождается гене­рацией дырки, т.е. в собственном полупроводнике n_i=p_i. Тогда, обозначая через E_Fi положение уровня Ферми в соб­ственном полупроводнике, можем записать:

Отсюда

, (1.10)

т. е. в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит посередине запрещенной зоны. Отсюда следует, что в урав­нениях (1.9) и (1.8) разность и в случае собственного полупроводника равна половине запрещенной зоны E_з, и эти уравнения можно переписать в виде

(1.11)

Зонная структура собственного полупроводника показана на рис. 1.14. Нахождение уровня Ферми посередине запрещен­ной зоны в собственном полупроводнике является следствием равенства концентраций электронов и дырок, при котором функция Ферми—Дирака должна показывать одинаковые вероятности нахождения электронов в зоне прово­димости и их отсутствия в валентной зоне.

Рис. 1.14. Положение уровня Фер­ми на зонной диаграмме беспри­месного полупроводника

Из уравнения (1.11) следу­ет, что концентрация свобод­ных носителей заряда в собствённом полупроводнике в сильной степени (экспоненци­ально) зависит от ширины запрещенной зоны полупроводника и температуры. Так, при Т=300К для Ge: E₃=0,67эВ, n_i=p_i=2,5·10¹³ см^-3, для Si E₃=1,12эВ, n_i=1,5· 10¹⁰ см^-3, т_.е. относительно не­большая разница в ширине запрещенной зоны Ge и Si приводит к разнице собственной концентраций носителей на три порядка. Столь же сильно, собственная концентрация изменяется с изменением температуры. Например, при увеличении Т на 100°С n_i возрастает на 2—3 порядка.