27 Проверка статистических гипотез

 

Проверки статистических гипотез — один из классов задач в математической статистике.

Статистические гипотезы Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

• Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение , то есть , где какой-то конкретный закон, называется простой.

• Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения к некоторому семейству распределений, то есть вида , где  — семейство распределений, называется сложной.

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке фиксированного объема из распределения . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Пример

Пусть дана независимая выборка из нормального распределения, где  — неизвестный параметр. Тогда , где  — фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней  — сложной.

Этапы проверки статистических гипотез

1. Формулировка основной гипотезы и конкурирующей гипотезы . Гипотезы должны быть чётко формализованы в математических терминах.

2. Задание уровня значимости , на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.

3. Расчёт статистики критерия такой, что:

   • её величина зависит от исходной выборки ;

   • по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы ;

   • сама статистика должна подчиняться какому-то известному закону распределения, так как сама является случайной в силу случайности .

4. Построение критической области. Из области значений выделяется подмножество таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство . Это множество и называется критической областью.

5. Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику и по попаданию (или непопаданию) в критическую область выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы .

Виды критической области

Выделяют три вида критических областей:

• Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами , где находят из условий .

• Левосторонняя критическая область определяется интервалом , где находят из условия .

• Правосторонняя критическая область определяется интервалом , где находят из условия .