Свойства

Если случайные величины и независимы и имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями и и дисперсиями и соответственно, то также имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией .

Моделирование нормальных случайных величин

Простейшие, но неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения. Тем не менее, с увеличением слагаемых распределение суммы стремится к нормальному.

Использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.

Центральная предельная теорема

Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:

• отклонение при стрельбе

• некоторые погрешности измерений (однако, многие погрешности приборов в технике имеют сильно не нормальные распределения)

• рост живых организмов

Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный).

Важно понимать, что использование гауссианы допустимо только при соблюдении следующих эмпирических условий: все факторы процесса известны (нет неизвестных или они несущественны), процесс немасштабируем (существуют верхние и нижние пределы), крайние события происходят не чаще, чем предсказывает правило 3-х сигм, и не имеют больших последствий. Таким образом, с помощью гауссианы некорректно моделировать социальные и экономические процессы. Однако хорошо поддаются моделированию большинство физических процессов.^[1]

Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения (наблюдения) складывается под действием многих независимых причин, причем каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется аддитивно, то есть путём сложения, то распределение результата измерения (наблюдения) близко к нормальному.

22 Количество степеней свободы — это количество значений в итоговом вычислении статистики, способных варьироваться. Иными словами, количество степеней свободы показывает размерность вектора из случайных величин, количество «свободных» величин, необходимых для того, чтобы полностью определить вектор.

Количество степеней свободы может быть не только натуральным, но и любым действительным числом, хотя стандартные таблицы рассчитывают p-value наиболее распространённых распределений только для натурального числа степеней свободы.

Хи-квадрат

Если случайные величины независимы и все имеют стандартное нормальное распределение ( ), то тогда говорят, что случайная величина , являющаяся суммой квадратов стандартных нормальных величин в количестве штук, имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы ( ):

t-распределение Стьюдента

Если случайная величина имеет стандартное нормальное распределение ( ), а случайная величина имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы ( ), то случайная величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы ( ):