Формулировки

• Пусть  — пространство с мерой. Пусть также

  •  — суммируемая на функция

  • .

Тогда справедливо неравенство:

.

• В более общем виде:

Если  — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения , то

• В терминах пространства :

Пусть . Тогда

Неравенство Чебышева может быть получено, как следствие из неравенства Маркова.

Неравенство Чебышева в теории вероятностей

Неравенство Чебышева в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. Говоря более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышева является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , а её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда

,

где .

Если , где  — стандартное отклонение и , то получаем

.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения, с вероятностью меньше . Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .

19

Показательное распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Обозначение
Параметры	- интенсивность или обратный коэффициент масштаба
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Определение

Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром , если её плотность имеет вид

.

Пример. Пусть есть магазин, в который время от времени заходят покупатели. При определённых допущениях время между появлениями двух последовательных покупателей будет случайной величиной с экспоненциальным распределением. Среднее время ожидания нового покупателя (см. ниже) равно . Сам параметр тогда может быть интерпретирован, как среднее число новых покупателей за единицу времени.

В этой статье для определённости будем предполагать, что плотность экспоненциальной случайной величины задана первым уравнением, и будем писать: .

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

,

откуда получаем все моменты:

.

В частности,

,

,

.

Отсутствие памяти

Пусть . Тогда .

Пример. Пусть автобусы приходят на остановку случайно, но с некоторой фиксированной средней интенсивностью. Тогда количество времени, уже затраченное пассажиром на ожидание автобуса, не влияет на время, которое ему ещё придётся прождать.

Связь с другими распределениями

• Минимум независимых экспоненциальных случайных величин также экспоненциальная случайная величина. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда

.

• Экспоненциальное распределение является частным случаем Гамма распределения:

.

• Сумма независимых одинаково распределённых экспоненциальных случайных величин имеет Гамма распределение. Пусть независимые случайные величины, и . Тогда

.

• Экспоненциальное распределение может быть получено из непрерывного равномерного распределения методом обратного преобразования. Пусть . Тогда

.

• Экспоненциальное распределение с параметром — это частный случай распределения хи-квадрат:

.

20 Математическое ожидание непрерывной равномерно распределённой случайной величины в интервале вычисляется по следующей формуле : Дисперсия непрерывной равномерно распределённой случайной величины в интервале вычисляется по следующей формуле :

Равномерное распределение, прямоугольное распределение, специальный вид распределения вероятностей случайной величины Х, принимающей значения из интервала (а — h, a + h); характеризуется плотностью вероятности:

.

  Математическое ожидание:

Ех = a, дисперсия Dx = h²/3, характеристическая функция: .

  С помощью линейного преобразования интервал (а — h, a + h) может быть переведён в любой заданный интервал. Так, величина Y = (X — a + h)/2h равномерно распределена на интервале (0, 1). Если Y₁, Y₂, ..., Y_n равномерно распределены на интервале (0, 1), то закон распределения их суммы, нормированной математическим ожиданием n/2 и дисперсией n/12, при возрастании n быстро приближается к нормальному распределению (даже при n = 3 приближение часто бывает достаточным для практики).

21

Нормальное распределение
Плотность вероятности Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению
Функция распределения Цвета на этом графике соответствуют графику наверху
Обозначение
Параметры	- коэффициент сдвига (вещественное число) - коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный)
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Информационная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Нормальное распределение, также называемое гауссовым распределением, гауссианой или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и указывает координату максимума кривой плотности распределения, а σ² — дисперсия.

Нормальное распределение играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в статистической физике. Физическая величина, подверженная влиянию значительного числа независимых факторов, способных вносить с равной погрешностью положительные и отрицательные отклонения, вне зависимости от природы этих случайных факторов, часто подчиняется нормальному распределению, поэтому из всех распределений в природе чаще всего встречается нормальное (отсюда и произошло одно из названий этого распределения вероятностей).

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.