3. Преобразование простой ренты в общую ренту

Необходимость в таком преобразовании возникает, когда нужно найти величину выплат общей ренты по заданному текущему или наращенному значению.

Пример.

Кредит в размере 600 тысяч рублей выдан под проценты по ставке 16% годовых при начислении процентов по полугодиям. Определить размер поквартальных погасительных платежей, необходимых для погашения долга за 1,5 года.

Решение.

Временная диаграмма выплат приведена на рис. 5.

Рис. 5.

Найдем сначала величину выплат R простой обычной ренты с параметрами:

А = 600 тыс. руб., i = 0,08, n = 3.

Тогда

Отсюда, учитывая (4), находим

ЗАДАЧА

Кредит в размере 470 тысяч рублей выдан под проценты по ставке 6% годовых при начислении процентов по кварталам. Определить размер годовых погасительных платежей, необходимых для погашения долга за 5 лет.

4. Бессрочная рента

Бессрочная рента - это рента, выплаты которой не ограничены никаким сроком. Существует множество примеров бессрочных рент, простейший из них, наверно, - последовательность периодических выплат процентов на продуктивно инвестированный капитал. Классификация бессрочных рент (на обычные, приведенные, отложенные и т. д.) полностью совпадает с классификацией рент (конечных), которые рассматривались выше. Например, обычная простая бессрочная рента - это множество периодических платежей, производимых бесконечно долго в конце каждого последовательного периода начисления процентов. Временная диаграмма выплат для этого примера приведена на рис. 6.

Рис. 6.

Пусть А, как и раньше, - текущее значение обычной простой бессрочной ренты, пусть также i - процентная ставка, соответствующая периоду выплат, а R - величина выплат. Текущее значение А должно быть эквивалентно множеству выплат R при ставке i. Так как инвестиция в размере А в начальный (нулевой) момент времени обеспечивает процентные выплаты в конце каждого периода, пока сумма остается инвестированной, то должно выполняться равенство

R = Ai (7)

или

Ясно, что если любые два из трех значений A, R, i известны, то последнее может быть найдено из уравнения (7). Соотношение, устанавливаемое уравнением (7), можно получить как предельный случай обычной ренты сроком n лет при n, стремящемся к ∞. С ростом n дробь

уменьшаясь, стремится к нулю при n → ∞, поэтому, переходя к пределу в уравнении для текущего значения обычной ренты сроком n лет, получим

Пример.

Найти сумму, необходимую для основания фонда, который обеспечивает выплаты 750 тысяч рублей в конце каждого года, если деньги могут быть инвестированы по эффективной ставке 3% годовых.

Решение.

Ясно, что речь идет о простой обычной бессрочной ренте с выплатами R = 750 тысяч рублей и i = 0,03. Из уравнения (7) получим

Период выплаты часто отличается от периода начисления процентов. В этом случае бессрочная рента называется общей (бессрочной рентой). Связь между выплатами общей и простой бессрочной ренты описывается, как и для конечных рент, формулой (4). Эта формула не зависит от общего числа периодов и, следовательно, справедлива для бессрочных рент. Текущее значение такой ренты легко вычисляется с помощью преобразования ее в простую и использования уравнения (7).

Пример.

Найти текущее значение бессрочной ренты с выплатами по 100 тысяч рублей в конце каждого месяца при эффективной ставке на инвестиции 3% годовых.

Решение.

Временная диаграмма выплат приведена на рис. 7.

Рис. 7.

По формуле (4) найдем величину выплат эквивалентной исходной простой обычной бессрочной ренты. Имеем

Текущее значение исходной ренты равно