Нормальные алгоритмы Маркова

Алфавит – любое непустое множество символов – А.

Слово – запись вида a₁, a₂,... a_p, где a_iA.

Слово P входит в Q, если Q имеет вид Q= α₁Pα₂, где α₁, α₂-слова, возможно пустые. Нормальным алгоритмом над алфавитом А называется пара (В,S), где АВ, но В – не содержит символов ‘’ и ‘.’, а S – некоторая нормальная схема подстановок над алфавитом В.

d_i –символ: пустое место или ‘.’; Р_i, Q_i – слова.

Запись P₁→Q₁ означает, что какой-то фрагмент алфавита Р заменяется на какой-то фрагмент Q. Запись P₁→.Q₁ – заключительная формула подстановки.

При работе нормального алгоритма над словом рассматриваются все левые части формул схемы подстановок сверху вниз, и самое первое вхождение, найденное в левой части заменяется правой частью соответствующей формулы. Говорят, что алгоритм применим к слову А:

1. Если на каком-то шаге используется заключительная формула подстановки;

2. Если на некотором этапе ни одна из левых частей формулы схемы подстановок не входит в данное слово.

Пример: Построить нормальный алгоритм , применимый ко всем словам x₁, x₂,..., x_n в алфавите {a,b} и переводящий их в слово α= .

Проверим работу этого алгоритма над словами abba и baba.

1. abba→ αabba→ aβbba→ abδba→ abbδa→ abbaδ→ abbabb;

2. baba→αbaba→ bβaba→ bγba→ bγa→ bγ→ b.

_; N₀ = {0,1,...n}

(x₁, x₂,..., x_n) = 1^x1+1*1^x2+1*...*1^xn+1; (1)

Говорят, что функция f(x₁.. x_n) вычислима по Маркову, если существует такой нормальный алгоритм, который любой набор аргументов вида (1) преобразует в значение функции на этом наборе. Функция f(x₁, x₂,..., x_n) вычислима по Маркову, если существует алгоритм, применимый к любому слову вида 1^x1+1*1^x2+1*…*1^xn+1, переводящий его в слово 1^y+1, где y= f(x₁, x₂,..., x_n).

Пример: Построить нормальный алгоритм для вычисления функции f(x,y)=x+3y;

Проверим для f(2,1): 111*11→111111*1→111111111*→111111. Таким образом, f(2,1)=5.

Рекурсивные функции.

Исходными функциями называются функции вида:

1. 0(x)0 – нулевая функция;

2. S(x)=x+1 – функция следования;

3. - проектирование или выбор аргумента.

Операции над исходными функциями:

1. Суперпозиция. Пусть даны

f(x₁... x_n);

g₁(y₁... y_k);

g₂(y₁... y_k);

...

g_n(y₁... y_k).

Тогда h(y₁...y_n)=f (g₁,g₂,…,g_n). Говорят, что h получается с помощью суперпозиции функций g_i. Причем значения h будем считать определена только на тех наборах аргументов, на которых каждая из g_i и f определены при данных наборах аргументов. Любую константу можно получить только из исходной с помощью суперпозиции k(x)=S(...S(O(x)))_{k – раз}.

2. Примитивная рекурсия. Пусть даны g(x₁... x_n-1), f(x₁... x_n), h(x₁... x_n-1). Будем говорить, что функция f получена из g и h с помощью примитивной рекурсии, если выполняются следующие соотношения:

f(x₁... x_n-1,0)=g(x₁... x_n-1);

f(x₁... x_n-1,y+1)=h(x₁... x_n-1,y,f(x₁... x_n-1,y)) – схемы примитивной рекурсии.

Функция называется примитивно-рекурсивной, если она может быть получена из исходной функции с помощью применения конечного числа раз операции суперпозиции и примитивной рекурсии.

Пример: докажем примитивную рекурсивность некоторых функций.

1. const – все примитивно-рекурсивные функции: C(x₁...x_n)=S(...S( ))_{c – раз} – получим константу C;

2. Сумма f(x₁,x₂)=x₁+x₂:

g(x₁)=f(x₁,0)=x₁=I₁¹(x₁);

f(x₁,y+1) =h(x₁,y,f(x₁,y))=h(x₁,y,x₁+y) =x₁+y+1, где h(x₁,x₂,x₃)=S(I₃³(x₁,x₂,x₃));

x₁+x₂=f(x₁,x₂); g(x₁)f(x₁,0)=g(x₁);

3. Произведение f(x₁,x₂)=x₁x₂:

f(x₁,0)=g(x₁)=0=О(x₁);

f(x₁,y+1)=h(x₁,y,x₁y)=x₁(y+1)=x₁y+x₁, где h(x,y,z)=I₃³(x,y,z)+I₁³(x,y,z); т.к. сумма примитивно-рекурсивна, то и произведение тоже.

3. Показательно – степенная функция f(x₁,x₂)=x₁^x2 и x₁>0:

f(x₁,0)=1=const (примитивно-рекурсивна);

f(x₁,y+1)=x₁^yx₁=h(x₁,y,x₁^y), где h(x,y,z)=I₃³(x,y,z)I₁³(x,y,z), т.к. произведение примитивно-рекурсивно, то и показательно – степенная функция тоже примитивно-рекурсивна.