Декартово произведение и векторы

Вектор (кортеж) – упорядоченный набор элементов.

Пусть вектор α=(a₁, a₂,... a_n). а_i – координаты (компоненты) вектора; n – размерность вектора

Пусть вектор =(b₁,b₂,.., b_n). Тогда α=, если .

Опр: АВ={(a,b) | aÎA_n, bÎB_n } – декартово произведение множеств.

Пример1: А={a}; B={1, 2}; AB{(a,1),(a,2)}; BA={(1,a),(2,a)} => ABBA.

Пример2: А={a,b}; AA={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}

Пример3: Доказать: А (ВС)=(АВ) С.

Док-во: Пусть A=B=C, тогда А(АА)=(АА)А. Пусть (АА)=D. Тогда АD=DА - противоречие. Следовательно А(ВС)(АВ)С.

Декартово произведение: AB={(x,y)| xA и yB}

A₁A₂ A₃…A_n={(a₁,a₂…a_n)| "i a_iA_i}

Теорема (о мощности декартова произведения конечных множеств): мощность декартова произведения множеств равна произведению мощностей этих множеств.

Пусть |A₁|= m₁, |A₂|= m₂,...|A_n|=m_n, тогда | A₁ A₂... A_n |= m₁*...*m_n (1);

Док-во:

1. Проверка при n=1: |A₁| = m₁ верно;

2. Допустим | A₁...A_k|= m₁* m₂*...* m_k;

3. Докажем для n=k+1: |A₁A₂...A_k+1|= m₁*m₂*...*m_k+1; (x₁,..., x_k, a_k+1) Для каждой фиксированной координаты a_k+1 количество различных векторов такого вида равно (по допущению) m₁*...*m_k. Но фиксированная координата a_k+1 может принимать m_k+1 значений. На основе метода мат. индукции утверждаем, что теорема справедлива для любого n.

П роекция вектора на ось. Проекция множества на ось

Проекция вектора α=(a₁, a₂,... a_n) на ось i пр_iа=а_i.

Проекция множества на А={ α | α=(a₁, a₂,... a_n)} пр_iA={пр_iа=α}.

Пара – вектор, размерности 2. Графиком назовем множество, элементом которого являются пары.

Действия над графиками

1. Инверсия графика Р: P^-1 ={(y,x)| (x,y)ÎP};

2. Композиция (суперпозиция) графика: PºQ={(x,y) | $a : (x,a)ÎP и (a,y)ÎQ }

Пример:

Пусть Р={(a,1),(b,2)}; Q={(1,α),(3,β)}.

Тогда Q^-1={( α ,1),(β,3)}; PºQ={a, α }: (a,1) Î P, (1, β) Î Q.

Но QºP=Ø. Таким образом, композиция не подчиняется коммутативному закону.

Свойства операций над графиками:

• Двойная инверсия: (P^-1)^-1=P.

Док-во: (x,y)Î(P^-1)^-1  (y,x)ÎP^-1  (x,y)ÎP

• Связь композиции и инверсии: (PºQ)^-1=Q^-1 º P^-1.

Док-во: (x,y)Î(PºQ)^-1  (y,x)ÎPºQ  a : (y, a)ÎP и (a, x)ÎQ  a : (x, a)ÎQ^-1 и (a, y)ÎP^-1  (x,y)ÎQ^-1 º P^-1.

• Ассоциативность композиции (PºQ) ºT=Pº(Q ºT).

Док-во: (x,y)ÎPº(QºT)  a : (x,a)ÎP и (a,y)ÎQºT  a : b : (x,a)ÎP и (a,b)ÎQ и (b,y)ÎT  b: (x,b)ÎPºQ и (b,y)ÎT  (x,y)Î(PºQ) ºT.

Соответствия

С оответствием Г назовем тройку множеств X,Y,G, где Х – область отправления соответствия, У – область прибытия соответствия, G – график некоторого подмножества декартова произведения XY (график соответствия).

Г=(X,У,G), где GÍ(XY)

Область определения G – пр₁G. Область значений G – пр₂G. Если (x,y) ÎG, то y – образ элемента x, а x – прообраз элемента y при данном соответствии G.

Если АÍX => Г(А) = {y | (x,y)ÎG, xÎA};

Если BÍY => Г^-1(B) = {x | (x,y)ÎG, yÎB}.

Пример: Г=({1,2,3},{a,b,c,d},{(1,a), (1,b), (2,c)}). Пусть А={1} => Г(А)={a,b}. B={a,b,c,d} =>

=> Г^-1(B) = {1,2}. Пр₁G={1,2}; пр₂G={a,b,c}.

Основные свойства соответствия:

1. Соответствие всюду определено, если его область определения совпадает с областью прибытия.

2. Соответствие сюръективно, если пр₂G=У.

3. Соответствие функционально, если каждый элемент из X имеет не более одного образа: если(x,y₁) ÎG и (x,y₂) ÎG, то y₁=y₂.

4. Инъективность: если график соответствия не содержит пар с различными первыми и одинаковыми вторыми координатами: если (x₁,y) ÎG и (x₂,y) ÎG, то x₁=x₂.

• Соотв. называется отображением X в У , если соотв. обладает свойствами 1,3.

• Соотв. называется отображением X на Y (свойства 1,2,3)

• Соотв. называется взаимнооднозначным, если оно обладает свойствами 3,4.

• Соотв. называется биекцией, если оно обладает свойствами 1-4.

Пример:

Пусть Х – все жители земли. У – все женщины. Определим соответствие: y мать х. Это соответствие обладает свойствами: .

Если между множествами А и В можно установить биекцию, то пишут А~В. Для бесконечных множеств: |А|=|В|  А~В.

Теорема (о равномощных конечных множествах): конечные множества равномощны тогда и только тогда, когда между ними можно установить биекцию: A~B  |A|=|B|.

Док–во:

1. Необходимость.

Пусть |A|=|B|. Докажем, что A~B.

A={a₁,a₂,…,a_n}

↕ ↕ ↕

B={b₁,b₂,…,b_n}

Таким образом, для всех i, каждому a_i ставится в соответствие b_i. Очевидно, что все 4 свойства выполняются, то есть это – биекция.

2. Достаточность.

Пусть A~B. Докажем, что |A|=|B|; Допустим A~B, но |A||B|, тогда A={a₁,a₂,…,a_n}, B={b₁,b₂,…,b_k}. При k<n нарушается либо всюду определённость, либо инъективность, при k>n нарушается либо сюръективность, либо функциональность, это значит, что если A~B, то |A|=|B|. ч.т.д.

Опр: Если дано множество А, то через Р(А) обозначается множество всех его подмножеств.

Теорема (о количестве различных подмножеств конечного множества):

Если |A|=n  |P(A)| = 2ⁿ.

Док–во: Пусть A={a₁,a₂,…,a_n} и пусть A*A поставим в соответствие е_A*=(e₁,e₂,..e_n), где . Очевидно, что таким образом задается множество всех подмножеств и множество всех двоичных наборов размерности n. Но количество всех двоичных наборов размерности n равно 2ⁿ. Следовательно |P(A)|=2ⁿ (по теореме о равномощных конечных множествах). ч.т.д.

Множество Ø является подмножеством любого множества, следовательно, учитывается при подсчете различных подмножеств конечного множества.

Опр: Множество называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел: множество А счетно, если A~N.

Теорема (о счётном подмножестве бесконечного множества): любое бесконечное множество содержит счетное подмножество (Если множество А – бесконечно, то существует такое А*, что А*А, и А*~N).

Док–во:

a₁A;

a₂А\{a₁};

a₃А\{a₁, a₂};

…

a_nА\{a₁, a₂,…, a_n–1}.

Если этот процесс прервётся, то множество А – конечно => противоречие. Т.о. А*={a₁, a₂,…, a_n,…}, где каждый элемент получит свой номер  A*A, A*~N. ч.т.д.

Теорема (критерий бесконечности множества): множество А бесконечно тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторому своему подмножеству, т.е А – бесконечно  _А*: А*А и А*~A.

Док-во:

1. Достаточность.

Пусть множество А–конечно, |A|=n, A*A. Если A*A, то |A*|<n – противоречие.

2. Необходимость.

Пусть А – бесконечно. Тогда существует такое M, что MA и M~N.

M={a₁, a₂,…, a_n,…}=>A=(A\M)M (1);

M*={a₂, a₄,…, a_2n,…}=>A*=(A\M)M* (2); A*A, т.к. a_2n+1А*.

А~А*, потому что между одинаковыми частями (A\M) биекцию задаёт тождественное равенство, а М~М* в силу их счетности. ч.т.д.

Теорема (о счётности множества рациональных чисел): множество рациональных чисел счетно: Q~N, где Q={p/q | pZ, qN; p/q – несократимая дробь}.

Док-во:

Зададим маршрут обхода, двигаясь по которому, будем присваивать номера всем дробям. Очевидно, что каждое число встретится в этой таблице и получит свой порядковый номер, т.о. данная конструкция установила биекцию Q~N. ч.т.д.

Теорема Кантора: множество действительных чисел интервала (0,1) несчётно.

Док–во: Пусть это множество счётно.

Число α:

α₁=0, a₁₁ a₁₂ a₁₃ …a_1n…

α₂=0, a₂₁ a₂₂ a₂₃ …a_2n…

…

α_n=0, a_n1 a_n2 a_n3 …a_nn…, где a_ij–цифры от 0 до 9. Значит, мы пронумеровали все числа.

Возьмем число β:

b₁a₁₁, b₁9; b₂a₂₂, b₂9,…,b_na_nn, b_n9 =>

β=0, b₁ b₂ … b_n … – действительное число, но оно не было подсчитано нами в 1-м случае. Следовательно множество действительных чисел интервала (0,1) несчётно. ч.т.д.

Опр: Множество называется континуальным, если оно равномощно множеству действительных чисел промежутка (0,1), т.е. имеет мощность континуума.

Пример: Пусть В, С – бесконечные множества. Тогда если |B|>|C| то между В и С нельзя установить биекцию. То есть, если В*В, то В~C.

Опр. |A|>|B|  A не~ B и A*A : A*~B

Теорема (о мощности множества всех подмножеств бесконечного множества): мощность множества всех подмножеств бесконечного множества строго больше мощности самого множества: |P(А)|>|А|.

Док–во:

А*={{a}|aА} – подмножество одноэлементных множеств; очевидно, что А*P(А)

↕

A = { a |aA}, следовательно A*~A;

Допустим, что A~P(A) => b↔B, c↔C;

Возможно, некоторые элементы попали в соответствующие им подмножества, а некоторые нет.

Y={x | xX, x↔X}, YP(A), т.к. составлен из элементов множества P(A);

Y↔y

Допустим, что yY и y↔Y  yY

Допустим, что yY и y↔Y  yY. Противоречие. Ч.т.д.

Для любого множества можно построить более мощное множество всех его подмножеств.