Классическое исчисление высказываний

Будем использовать алфавит: А, В_i, , , (, ).

Формула:

1. Каждый символ переменная объявляется формулой;

2. Если А, В – формулы, то (АВ), (А) также формулы. Других формул нет.

3. Аксиомы, их схемы:

А₁: А(ВА) – первая схема аксиом;

А₂: (А(ВС))  ((АB)(АС)) – вторая схема;

А₃: (В А) ((ВА)В) – третья схема.

Опр. Аксиомой по данной схеме аксиом называется формула, полученная из схемы аксиом подстановкой вместо символов переменных других формул.

Пример: пусть A~CC; B~A A₁: (CC)(A(CC))это аксиома по первой формуле аксиом.

4. Правила вывода. . Modus Ponens (MP) – правило отделения;

5. Теорема – см. выше;

6. Правило введения импликации: Г ├─А  Г ├─ВА.

Док-во: из Г следует, что существует последовательность A₁, A₂,..,A_m-1,А такая, что каждый ее член либо аксиома, либо получен по правилу вывода из предыдущих членов последовательности, либо из списка Г. А(ВА) - аксиома по первой схеме аксиом, ВА – по MP из предыдущего.

Теорема: если формула выводима из пустого множества гипотез, то это теорема: ├─ АА.

B₁: по А₂, где С~A B~(AА): (А((АА)А)((А(АА))(АА) – аксиома.

B₂: A((AA) A) - аксиома по A₁ (B~AA);

B₃: (A(AA)) (AA) по МР и B₁ B₂;

B₄: A(AA) аксиома по A₁ B~A;

B₅: AA по МР и B₃, B₄.

Теорема (о дедукции): Г,А├─B  Г├─А®В

Док-во:

1. Г├─А®В  Г,А├─В. Пусть имеется последовательность формул В₁,В₂,.., В, А®В, добавим А т.к. она вошла в список гипотез В по MP из предыдущего. Получилась гипотеза каждый член которой либо алфавит, либо формула, либо аксиома. Следовательно, построена последовательность.

2. Г,А®В  Г├─А®В, Найдем последовательность В₁,В₂,..,В_m-1,В, которая является выводом В из Г,А. А®В₁,..,А®В₂,.., А®В_i,.., А®В_m. Докажем методом математической индукции:

   1. Проверка А ®В₁. Если B₁A: В₁ – аксиома или гипотеза из списка Г, то вставки В₁®(А ®В₁), А ®В₁ (по предыдущему). Еесли В₁=А, получим A₁®A;

   2. Пусть теорема справедлива для i-1, т.е вставки вплоть до i-1 удались: А®В₁,..,А®В_i-1;

   3. Докажем А®В₁,..,А®В_i-1,...,A®B_i Вид вставки будет зависеть от того, на основании чего B_i вошла в B₁B₂..B_n:

1) В_i –аксиома или гипотеза из Г, тогда 2-е формулы В_i®(А®В_i)(аксиома по А₁), B_i, А®В_i(по МР из предыдущего);

2) В_i=А, по МР из предыдущего;

3) В_i получены по Modus Ponens из некоторых предыдущих В_k=В_j®В_i...В_j где j,k<i. 2-ая схема аксиом: возьмём (А ® (В_k ® В_i)) ® cоставляем схему, если А=А_i, В=В_i, В=В_x ® ((А ® В_x) ® (A ® В_i)) (*)-аксиома по А2 j,x<i…A ® В_j…А ® В_x применяем правило вывода Modus Ponens к А ® В_j и к (*), (А ® В_k) ® (А ® В_i) (**). Значит применяя правило вывода к (**) А ® В_k из 2-х формул вставки получаем А ® В_i. Процедура вставки верна для любых i, в частности для индекса m. тогда А ® В из множества гипотез. ч.т.д.

Транзитивность импликации: А®В, В®С├─А®С

Док-во:

B₁: А®В – гипотеза;

В₂: В®С – гипотеза;

В₃: А – гипотеза;

В₄: B по MP из В1,В3;

В₅: С (по Modus Ponens из В2, В4);

A®B, B®C, A├─C  (по теореме дедукции) A®B, B®C ├─ A®C.

Правило сечения: Если ├─А®(В®С), В├─А®С;

Док-во:

B₁: А(ВС) – гипотеза;

B₂: В – гипотеза;

B₃: А – гипотеза;

B₄: В®С (по MP из В₁, В₃);

B₅: С (по MP из В₂, В₄);

А®(А®С), В, А├─С  (по теореме дедукции) А®(В®С), В├─А®С; П.С.

23