Законы Моргана:

~(xy)=(~x)(~y) (1)

~(xy)=(~x)(~y) (2)

1. xy

xy=y

~x= k-1-x

~y=k-1-y

(k-1-x)( k-1-y)= k-1-y.

2. x>y

xy=x

~x= k-1-x

~y=k-1-y

(k-1-x)( k-1-y)= k-1-x.

Теорема (о представлении функций k-значной логики в 1^й форме): для любой функций k-значной логики а справедлива формула:

- для kⁿ наборов аргументов (a₁,..,a_n).

Док-во: пусть есть некоторый набор (b₁,..,b_n). Тогда

ч.т.д.

Пример: f=~x; k=5;

Система функций k-значной логики считается функционально полной, если любая функция этой логики может быть представлена в виде суперпозиции функций этой системы.

P_k – множество функций k-значной логики. [m] – множество всех суперпозиций (замыкание класса). P_k=[m].

Пример:

m={0,1,2...k-1,J_i(x),,}.

Пусть m₁={ }. Докажем Функциональную полноту m₁.

1. Построение const

;

;

2. 

а)

б) - т.к. нет константы k.

3. ;

Покажем, что из этой функции f_s,i(x) можно получить любую функцию от 1 переменной.

g(x)= f_g(0),0(x) f_g(1),1(x)...f_g(k-1),(k-1)(x);

g(a)= f_g(0),0(x) f_g(1),1(x)...f_g(a),a(a)...f_g(k-1),(k-1)(x)= g(a);

~x= f_k-1,0(x) f_k-2,1(x) ... f_0,k-1(x);

~(~x)=x;

~(xy)=(~x)(~y);

Формула Вебба (аналог ↓).

V_k(x,y)= ;

V_k(x,x)= ;

- законы идемпотентности.

Таким образом, мы доказали функциональную полноту класса Вебба.

Формальные теории Основные понятия

Чтобы описать формальную теорию необходимо:

1. алфавит – некоторое множество символов;

2. формулы (множество правильно построенных выражений) на данном алфавите;

3. описание аксиом (во множестве формул выделяется некоторое подмножество);

4. правила вывода (законы, которые позволяют по имеющимся формулам строить другие формулы). Правилом вывода G наз-ся n-местное отношение на множестве формул. Если формулы (A₁,A₂…A_n-1,B) вступают в отнош G, то говорят, что множество B выводимо из формумул A₁..A_n-1 по правилу G. A₁..A_n-1 – посылки правила вывода, B – заключение правила вывода. Записывают ;

Опр. Теоремой называется формула С, для которой существует последовательность B₁,B₂..B_m-1,С такая, что каждый член этой последовательности либо аксиома, либо получен по правилу вывода из предыдущих членов последовательности.

Опр. Формула С выводима из множества гипотез Г={A₁,A₂…A_p}, (Г├─ С), если существуетет последовательность В₁,В₂,..,В_m-1,С, каждый член которой является либо аксиомой, либо получен по правилу вывода из предыдущих членов последовательности, либо из списка Г. Формулы, вошедшие в список Г – гипотезы.

Свойства вывода из гипотез

1. Выводимость гипотез: Г,А├─А

2. перестановка гипотез: Г,А,С├─B  Г,C,А├─B – одна и та же последовательность В₁,В₂,..,В_m-1,B, выводимая из Г,А,С, является выводимой из Г,C,А.

3. Расширение числа гипотез: если Г├─А  Г,В├─А;

4. Транзитивность выводимости: если Г├─А, А├─В  Г├─В;

Док-во: из Г├─А следует, что существует последовательность A₁, A₂,..,A_m-1,A такая, что каждый член этой последовательности либо аксиома, либо получен по правилу вывода из предыдущих членов последовательности, из A├─B следует, что существует последовательность В₁,В₂,.., В_k-1, В, такая, что каждый член этой последовательности либо аксиома, либо получен по правилу вывода из предыдущих членов последовательности. Расссмотрим 2 случая:

а) среди формул B_i нет формул А, тогда В – теорема , выводима из гипотез с помощью расширения их списка  Г├─В;

б) некоторая В_i совпадает с формулой А, тогда вместо А перед А поставим А₁,А₂..A_m-1. Получим, что каждый член последовательности вошел в Г  Г├─В.

5. Удаление выводимой гипотезы: Г,А├─В и Г├─А  Г├─В

Док-во: из Г следует, что существует A₁, A₂,..,A_m-1,A такая, что каждый член этой последовательности либо аксиома, либо получен по правилу вывода из предыдущих членов последовательности, из Г,А следует, что существует последовательность В₁,В₂,.., В_k-1, В такая что каждый ее член либо аксиома, либо получен по правилу вывода из предыдущих членов последовательности. Рассмотрим два случая

а) среди B_i нет формул А, тогда В – теорема и В выводима из Г

б) если какая-то B_i совпала с А, то заменяем А на последовательность А₁,А₂..A_m-1, тем самым получаем вывод В из Г.