Линейность

Алгоритмы БПФ с прореживанием по времени

Чтобы достичь существенного улучшения эффективности, к которому мы стремимся, необходимо разложить вычисления ДПФ на набор ДПФ меньшего порядка. В этом процессе используют как симметрию, так и периодичность комплексной экспоненты Алгоритмы, в которых это разложение основано на разложении последовательности х(n) на меньшие подпоследовательности, называются алгоритмами с прореживаниями по времени.

Принцип прореживания по времени наиболее удобно иллюстрируется в частном случае, когда .N является целой степенью числа 2, т. е. N=2^V. Так как N — четное число, можно рассмотреть вычисление X(k) путем разбиения х(n) на две N/2-точечные последовательности, состоящие из точек х(n) с четными номерами и точек х(n) с нечетными номерами соответственно. Пусть

(5.27)

Разделяя х(n) на четные и нечетные точки, получим

или, заменяя индексы суммирования на n = 2r при четном n и n = 2r+1 при нечетном n, получим

(5.28)

Но . Следовательно, (5.28) можно записать в виде

(5.29)

Каждая из сумм в (5.29) является N/2-точечным ДПФ. Первая сумма N/2-точечное ДПФ четных точек исходных последовательностей, а вторая — N/2-точечное ДПФ нечетных точек исходных последовательностей. Хотя индекс k простирается на N значений, k = 0, 1, ..., N—1, каждая из сумм требует вычислений только для k от 0 до N/2—1, так как G(k) и H(k) периодичны по k с периодом N/2. После того как ДПФ, соответствующие двум суммам в (5.29), вычислены, они объединяются и дают -точечное ДПФ X(k). Рисунок 5.10 иллюстрирует вычисление X(k) в соответствии с (5.29) для восьмиточечной последовательности, т. е. для N = 8. На этом рисунке использованы направленные сигнальные графы,

Фиг. 5.10. Направленный граф, иллюстрирующий разложение N-точечного ДПФ на два N/2-точечных ДПФ в алгоритмах с прореживанием по времени (N = 8)

Фиг. 5.11. Направленный граф, иллюстрирующий разложение N/2-то-чечного ДПФ на два N/4-точечных ДПФ в алгоритмах с прореживанием по времени (N=8)

При этом предполагается, что ветви, входящие в узел, суммируются, давая узловую переменную. Предполагается, что когда не указываются коэффициенты, передача по ветви равна единице. Для других ветвей передача по ветви является целой степенью W_N. Таким образом, из рис. 5.10 видно, что вычисляются два четырехточечных ДПФ; G(k) обозначает четырехточечное ДПФ четных точек, а H(k) — четырехточечное ДПФ нечетных точек. Затем Х(0) получается путем умножения Н(0) на и прибавления G(0). Значение Х(1) получается умножением H(1) на и прибавлением G(1). Для Х(4) нужно было бы умножить H(4) на и прибавить G(4). Однако так как G(k) и H(k) периодичны по k с периодом 4, то H(4)=H(0) и G(4)=G(0). Таким образом, Х(4) получается путем умножения H(0) на и суммирования результата с G(0).

Перестроив вычисления согласно (5.29), можно сравнить требуемое число умножений и сложений с числом умножений и сложений, необходимым при прямом вычислении ДПФ. Раньше мы видели, что при прямом вычислении без использования симметрии требуется N² комплексных умножений и сложений.

Выражение (5.29) требует вычисления двух N/2-точечных ДПФ, что, в свою очередь, требует 2(N/2)² комплексных умножений и приблизительно 2(N/2)² комплексных сложений. Затем два N/2-точечных ДПФ должны быть объединены, что потребует N комплексных умножений, соответствующих умножению второй суммы на и затем N комплексных сложений соответствующих сложению произведения с первой суммой. Следовательно, вычисления по (5.29) для всех значений k требуют N + 2(N/2)² или N+ (N²/2) комплексных умножений и комплексных сложений. Легко проверить, что при N>2 N+N2/2 будет меньше, чем N².

Выражение (5.29) соответствует разбиению исходного N-точечного вычисления на два N/2-точечных вычислений. Если N/2 — четное число, что имеет место всегда, когда N равно степени 2, то можно вычислять каждое N/2-точечное ДПФ в (5.29) путем разбиения сумм на два N/4-точечных ДПФ, которые затем объединяются, давая N/2-точечное ДПФ. Таким образом, G(k) и H(k) в (5.29) могут быть вычислены как

или

(5.30)

Аналогично

(5.31)

Таким образом, если четырехточечные ДПФ (см. рис. 5.10) вычисляются согласно (5.30) и (5.31), то эти вычисления могут быть произведены так, как показано на Фиг. 5.11. Вводя вычисления, указанные на рис. 5.10, в граф на рис. 5.10, получим полный граф, изображенный на Фиг. 5.12. Отметим, что использован тот факт, что

Для восьмиточечных ДПФ, которые мы использовали для иллюстрации, вычисления сводятся к вычислению двухточечных ДПФ. Двухточечные ДПФ от, например, х(0) и х(4) изображены на Фиг. 5.13. Если ввести вычисления, изображенные на Фиг. 5.13, в граф на Фиг. 5.12, то мы получим полный граф для вычисления восьмиточечного ДПФ, который имеет вид, показанный на Фиг. 5.14. - В более общем случае, когда N является более высокой степенью 2, мы бы продолжили разложение N/4-точечных преобразований в (5.30) и (5.31) в N/8-точечные преобразования и продолжали бы до тех пор, пока не остались бы только двухточечные преобразования. Это потребует v ступеней вычисления, где v = Iog₂N. Ранее мы определили, что при разложении исходного N-точечного преобразования на два N/2-точечных преобразования требуемое число комплексных умножений и сложений равно N +2(N/2)²

Фиг. 5.12. Результат подстановки направленного графа рис. 5.11 в граф рис. 5.10

При разложении N/2-точечных преобразований на N/4-точечные преобразования коэффициент (N/2)² заменяется на N/2 + 2(N/4)², так что общее число умножений и сложений равно N + N + 4(N/4)². Если N=2^v, эту операцию нужно проделать v = log₂N раз; проведя разложение максимально возможное число раз, получим общее число комплексных умножений и сложений, равное N Log₂ N.

Фиг. 5.13. Направленный граф двухточечного ДПФ

Фиг. 5.14. Направленный граф для полного разложения восьмиточечного ДПФ в алгоритме с прореживанием по времени.

Граф на Фиг. 5.14. показывает явно эти операции. Подсчитав ветви с передачами вида W_N, замечаем, что на каждой ступени необходимо N комплексных умножений и N комплексных сложений. Так как число ступеней равно log₂N, получаем, как и прежде, общее число комплексных умножений и сложений, равное N log₂ N. Это существенная экономия вычислений. Мы увидим, что использование симметрии и периодичности коэффициентов даст дальнейшее уменьшение количества вычислений.

Алгоритмы БПФ с прореживанием по частоте

Алгоритмы БПФ с прореживанием по времени были основаны на разложении ДПФ путем формирования уменьшающихся подпоследовательностей входной последовательности х(n). С другой стороны, можно рассмотреть такое же разложение выходной последовательности X(k) на уменьшающиеся подпоследовательности.

Класс алгоритмов БПФ, основанный на этой процедуре, обычно называется классом алгоритмов с прореживанием по частоте. Чтобы вывести БПФ-алгоритм с прореживанием по частоте для /V, являющегося степенью 2, сначала нужно разделить входную последовательность на две половины так, что

или

(5.35)

Важно отметить, что, хотя (5.35) содержит две суммы по N/2 точек, каждая из этих сумм не является N/2-точечным ДПФ, так как в каждой из сумм стоит , а не . Объединяя две суммы, в (5.35) и используя соотношение , получим

(5.36)

Рассмотрим теперь отдельно четные и нечетные k, обозначив •через X(2r) и X(2r + 1) суммы соответственно четных и нечетных точек, так что

( 5.37)

(5.38)

.Нетрудно видеть, что (5.37) и (5.38) являются N/2-точечными ,ДПФ; в случае (5.37) — от суммы первой и последней половины входной последовательности, а в случае (5.38) — от произведения на разность первой и второй половины входной последовательности. В отличие от (5.36), суммы в (5.37) и (5.38) соответствуют N/2-точечным ДПФ потому, что .

Таким образом, на основании (5.37) и (5.38) с g(n)=x(n) +…+x(n+N/2) и h(n)=x(n)—x(n + N/2) ДПФ можно вычислить путем формирования последовательностей g(n) и h(n), затем вычисления h(n) и, наконец, вычислением N/2-точечных ДПФ от этих двух последовательностей. Процедура, даваемая выражениями (5.37) и (5.38), иллюстрируется Фиг. 5.22 для случая восьмиточечного ДПФ.

Фиг. 5.22. Направленный граф, иллюстрирующий разложение N-точечного ДПФ на два N/2-точечных ДПФ в алгоритмах с прореживанием по частоте ,(N = 8)

Фиг. 5.23. Направленный граф, иллюстрирующий разложение восьмиточечного ДПФ на четыре двухточечных для алгоритмов с прореживанием по частоте

Поступая так же, как и в случае вывода алгоритма с прореживанием по времени, замечаем, что так как N является степенью 2, N/2 четно, и, следовательно, N/2-точечные ДПФ могут быть найдены путем вычисления по отдельности четных и нечетных выходных точек этих ДПФ. Как и в случае исходного разложения, приводящего к (5.37) и (5.38), это делается путем объединения первой и второй половины входных точек для каждого из N/2-точечных ДПФ и затем вычисления N/4-точечных ДПФ. Направленный граф, соответствующий этому шагу для восьмиточечного ДПФ, показан на Фиг. 5.23. Для восьмиточечного ДПФ вычисления теперь сводятся к вычислению двухточечных ДПФ, которые, как мы видели раньше, получаются путем сложения и вычитания входных точек. Таким образом, двухточечные ДПФ на Фиг. 5.23 могут быть замечены вычислениями, показанными на Фиг. 5.24 так, что в результате для восьмиточечного ДПФ получим граф, изображенный на Фиг. 5.25.

Фиг. 5.24. Направленный граф двухточечного ДПФ на последней ступени разложения для алгоритмов с прореживанием по частоте

Фиг. 5.25. Направленный граф при полном разложении восьмиточечного ДПФ для алгоритмов с прореживанием по частоте

Подсчитывая число арифметических операций на Фиг. 5.25 и обобщая на случай N=2^v, убеждаемся, что вычисления по Фиг. 5.25 требуют N/2 log₂N комплексных умножений и N log₂N комплексных сложений. Таким образом, общее количество вычислений для алгоритмов с прореживанием по частоте и с прореживанием по времени одинаково.