7. Вариационные изопериметрические задачи. Особенности их решения.

Как частный случай задачи Лагранжа можно рассматривать и представляющую самостоятельный интерес изопериметрическую задачу, когда условия которым подчинена искомая функция, заданы в интегральной форме. Например, простейшая задача формулируется следующим образом: определить экстремум функционала

(22)

при условии, что другой функционал

(23)

сохраняет заданное значение С, а экстремаль проходит через точки: x(t₀)=x₀; x(t_k)=x_k. Название изопериметрических такого рода задачи получили по названию одной из них: среди всех кривых равной длины (одинакового периметра) найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь. Эта задача была известна еще древним грекам под названием «задача Дидоны». По преданию, легендарная основательница Карфагена царица Дидона покупала у туземцев землю, на которой должен быть основан город. Ей согласились продать лишь участок, который можно охватить бычьей шкурой. Тогда Дидона разрезала шкуру на тонкие ремни и расположила их так, чтобы охватить наибольшую площадь. Если пользоваться современными математическими понятиями, Дидона решила именно изопериметрическую задачу, выбирая функцию y(x), доставляющую максимум интегралу

(24)

(площади, охваченной ремнем), при заданном значении интеграла

(25)

(длина ремня).

Изопериметрическую задачу легко свести к общей задаче Лагранжа. Действительно, обозначив

(26)

(интеграл с переменным верхним пределом), получим

(27)

и приходим к следующей задаче Лагранжа: найти функции x(t), , доставляющие экстремум функционалу (22) при наличии уравнения связи .

Согласно теореме, для решения этой задачи следует составить уравнение Эйлера для вспомогательной функции (28) которые будут иметь вид

. (29)

Из второго уравнения (29) следует, что =const, т.е. для изопериметрической задачи множитель Лагранжа обращается в постоянное число. В тоже время это уравнение не дает никакой информации о функции , однако в этом и нет необходимости: ведь мы должны найти только одну функцию x(t), доставляющую экстремум функционалу (22) при наличии условия (23). Для этого достаточно одного уравнения – первого уравнения системы (29), в котором .

Таким образом, получаем следующее мнемоническое правило: для того чтобы найти функцию x(t), доставляющую экстремум интегралу (22) при условии, что интеграл (23) сохраняет заданное значение, следует составить одно уравнение Эйлера для промежуточной функции

. (30)

В решение уравнения Эйлера будут входить три произвольные постоянные – две постоянные интегрирования и постоянная . Для их определения имеем как раз три уравнения: два уравнения следуют из условий прохождения экстремали через две заданные точки, а третье – из условия, что интеграл (23) равен заданному значению С.

Применяя это правило к задаче Дидоны можно установить, что ее решение является окружностью с радиусом [3]. Так при этом значение функционала равно С, то отсюда находим значение множителя Лагранжа .