6. Задачи на условный экстремум: метод множителей Лагранжа.

Решение многих технических вопросов приводит к таким вариационным задачам, в которых функции, доставляющие экстремум должны, кроме того, удовлетворять некоторым дополнительным условиям. Так, например, в задаче о кратчайшей морской трассе на поверхности земного шара нужно найти минимум функционала – длины кривой

(1)

при условии, что эта кривая лежит на поверхности земного шара, т.е. удовлетворяет уравнению сферы . (2)

Экстремум функционала, определяемый при таком дополнительном условии называется условным экстремумом.

Наиболее простой в методическом плане способ решения указанной задачи на условный экстремум состоит в следующем. Из уравнения (2) выражаем функцию z(x) через функцию y(x)

и дифференцируем ее по х:

. (3)

Подставляем функцию (3) в функционал (1)

. (4)

Таким образом исходная задача на условный экстремум (1), (2) сведена к стандартной задаче на поиск экстремума функционала (4).

Однако необходимо подчеркнуть, что указанная процедура исключения неизвестных приводит часто к сложным вычислениям, а во многих случаях не может быть выполнена точно аналитически. В связи с этим Лагранжем был предложен другой достаточно простой метод решения – метод неопределенных множителей (множителей Лагранжа).

Сформулируем в общем виде задачу на условный экстремум.

Пусть задан функционал

(4)

при наличии условий i=1,…,m, m<n (5)

и

X(t₀) = X₀; X(t_k) = X_k; X = (x₁,x₂,…,x_n)^T . (6)

Функции i=1,…,m предполагаются гладкими и независимыми по переменным x₁,…,x_n .

Теорема. Если X(t) – экстремаль функционала (4), удовлетворяющая условиям (5),(6), то она удовлетворяет уравнениям Эйлера, составленным для функционала

, (7)

где - соответствующим образом подобранные функции (множители Лагранжа).

В соответствии с данной теоремой, экстремали функционала (4) и функции , i=1,…,m должны удовлетворять уравнениям:

, (8)

где

(9)

так называемая функция Лагранжа.

Таким образом экстремаль задачи (4) - (6) определяется обычными методами поисками экстремалей функционала

.

Докажем справедливость теоремы на примере задачи при n=2, m=1:

(10)

(11)

Записываем функцию Лагранжа .

Для определения трех функций x(t), y(t), в соответствии с теоремой имеем как раз три уравнения Эйлера:

,

, (12)

.

Для доказательства теоремы получим соотношения (12) с использованием вариационных методов. Предположим, что экстремум функционала (10) доставляется функциями x(t) и y(t); добавим к ним вариации , отличные от нуля только в окрестности точки t = c, и обозначим

.

Отметим, что поскольку определяются не достаточные, а только необходимые условия экстремума, то вариации можно брать наиболее удобные для дальнейших выкладок, от этого общность вывода не снижается.

Вариация функционала (10) будет равна

(13)

Однако вариации в уравнении (13) не произвольны, а подчинены условию, требующему, чтобы проварьированные функции y+ , как и исходные, удовлетворяли уравнению связи (11), т.е.

. (14)

Используя понятие дифференциала функции многих переменных и теорему о значении определенного интеграла, соотношение (14) преобразуем к виду

или

. (15)

Подставляя равенство (15) в выражение для вариации (13), получаем

,

откуда вследствие вытекает, что выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е.

. (16)

Обозначая правую и левую часть равенства (16) через , приходим как раз к уравнениям (12). Это доказывает теорему в случае n=2, m=1. При больших значениях n, m теорема доказывается аналогично.