4. Вывод уравнение Эйлера. Основная лемма вариационного исчисления.

Основная задача вариационного исчисления – отыскание функций, доставляющих экстремум функционалу. Ответ на этот вопрос дает уравнение Эйлера, решение которого является экстремалью.

Дадим вывод этого уравнения на примере сформулированной ранее простейшей вариационной задачи: найти функцию, доставляющую минимум функционалу

, (1)

причем будем предполагать, что искомая функция удовлетворяет краевым условиям

. (2)

Д ругими словами, искомая кривая проходит через заданные точки А(t₀,x₀), B(t₁,x₁). Такая задача называется вариационной задачей с закрепленными граничными точками.

Задачу (1) будем исследовать (как это принято в классическом вариационном исчислении) в пространстве C₁(t₀,t₁) непрерывно дифференцируемых функций, т.е. непрерывно диффренцируемые функции, определенные не [t₀,t₁] и удовлетворяющие краевым условиям (2) будем считать допустимыми функциями, а их графики – допустимыми кривыми в поставленной задаче. Функция F(t, x, x^’) считается гладкой по всем аргументам.

Переходя к решению вариационной задачи, допустим, что ее решение – кривая – найдено. Рассмотрим допустимую кривую , (3)

где - вариация по x(t), произвольная допустимая функция, - малая константа.

Так как допустимая кривая x₁(t) должна удовлетворять краевым условиям (2), то очевидно, что . (4)

Вследствие принадлежности x₁(t) , можем продифференцировать данную функцию по времени: . (5)

Таким образом, на функции x₁(t) функционал принимает значение

. (6)

Известно, что необходимым условием экстремума функционала является обращение в нуль его вариации :

. (7)

Замечание 1. Выражение (6) можно рассматривать как функцию параметра , которая при принимает минимальное значение. В этом случае, соотношение (7) можно интерпретировать, как условие минимума указанной функции по .

На основе (6), (7) с использованием правила дифференцирования сложной функции находим вариацию функционала . (8)

После интегрирования второго слагаемого по частям имеем:

| - = | - .

Окончательно с учетом краевых условий (4) вариацию (8) запишем в виде

. (9)

В этом выражении сомножитель является на кривой реализующей экстремум, заданной непрерывной функцией, а второй сомножитель - произвольная дифференцируемая на отрезке [t₀,t₁] функция. При этих условиях из (9) следует равенство:

, (10)

которое выполняется на экстремалях. Это уравнение получило название уравнение Эйлера (1744г.).

Доказательство (вывод) уравнения Эйлера исходя из интегрального соотношения (9), опирается на основную лемму вариационного исчисления, которая формулируется так: если для каждой непрерывной функции , удовлетворяющей условию , интеграл , (11)

где - непрерывная на отрезке [t₀,t₁] функция, то на том же отрезке.

Данная лемма достаточно просто доказывается методом от противного. Предположим в противоречии с утверждением леммы, что в точке значение . Тогда, логически рассуждая, должны придти к противоречию с утверждением леммы. Действительно, из непрерывности следует, что если , то сохраняет знак в некоторой окрестности точки . Выбирая функцию сохраняющей знак на отрезке [ и равной нулю вне этого отрезка, заключаем, что произведение сохраняет знак на отрезке [ и равно нулю вне этого отрезка, и, следовательно,

.

Это противоречие и доказывает лемму.

Таким образом, мы доказали, что если среди допустимых функций класса существует функция, доставляющая минимум функционалу V[x(t)], то она будет решением уравнения Эйлера, т.е. экстремалью.

Если учесть, что производная является функцией трех переменных, t, x(t), и, следовательно

,

то уравнение Эйлера можно записать в следующей развернутой форме

, (12)

x(t₀)=x₀; x(t₁)=x_{1 .}

Отсюда видно, что уравнение Эйлера является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка. Его решение x(t,C₁,C₂) зависит от двух постоянных интегрирования С₁, С₂, которые находятся из условий прохождения функции x(t) через заданные граничные (краевые) точки x(t₀), x(t₁). В связи с этим задача (12) называется двухточечной краевой задачей (ДТКЗ). Решение ДТКЗ представляет большие математические сложности (Летов А.М.).

Пример. Определить на каких кривых, проходящих через точки x₀ = (0,0), x₁ = (1,1), может достигать экстремума функционал

(14)

В данном случае функция Лагранжа (интегрант) равна

.

Находим производные

Таким образом, уравнение Эйлера (10) принимает вид , или .

Это линейное дифференциальное уравнение легко интегрируется

.

Следовательно, экстремаль входит в семейство парабол. Постоянные интегрирования определяем исходя из краевых условий:

x(0)=0  0=C₂  C₂=0,

x(1)=1  1=1+C₁+C₂  C₁=0.

Таким образом, искомая экстремаль есть парабола x(t) = t².