ВОПРОСЫ ПО КЛАССИЧЕСКОМУ ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ.

1. Основные понятия вариационного исчисления: функционал, непрерывный функционал, линейный функционал, вариация функционала. 2

2. Основные понятия вариационного исчисления: функционал, сильный и слабый экстремум функционала, условия экстремума. 4

3. Формировка простейшей вариационной задачи классического вариационного исчисления. Вывод уравнение Эйлера. 6

4. Вывод уравнение Эйлера. Основная лемма вариационного исчисления. 9

5. Функционалы, зависящие от высших производных: уравнение Эйлера - Пуассона, условие Лежандра. 12

6. Задачи на условный экстремум: метод множителей Лагранжа. 15

7. Вариационные изопериметрические задачи. Особенности их решения. 18

8. Функционалы, зависимые от многих функций: уравнения Эйлера, условие Лежандра. 20

9. Применение классического вариационного исчисления к задаче оптимального управления, двухточечная краевая задача. 22

10. Применение классического вариационного исчисления к задаче оптимального управления, уравнения Эйлера - Лагранжа в канонической форме. 23

1. Основные понятия вариационного исчисления: функционал, непрерывный функционал, линейный функционал, вариация функционала.

Задача синтеза оптимальных систем в конечном счете сводится к отысканию вектора U(t) управления, обеспечивающего экстремальное (т. е. минимальное или максимальное) значение некоторого критерия качества – некоторого функционала. Как известно, методы отыскание экстремальных значений функционалов составляют основу вариационного исчисления.

1. Переменная величина V называется функционалом, зависящим от функции x(t) (что обозначается так: V = V[x(t)], если каждой функции из некоторого класса соответствует значение V, т. е. имеет место соответствие: функции x(t) соответствует число V.

Пример 1:

Набору функций e^-t/T1, e^-t/T₂ , …, e^-t/T_n будут соответствовать числа , …, _.

Пример2: функционал зависит не только от функции , но и ее производной x(t). Известно, что длина кривой x(t) сое диняющей на плоскости x, t точки t=0, x=0 и t=1,x=1 будет равна интегралу ; x^’(t)=

2. Приращением или вариацией x аргумента x(t) функционала V[x(t)] называется разность между двумя функциями , причем x(t), x₁(t) .

3. Функционал V[x(t)] называется непрерывным, если малому изменению x(t) cоответствует малое изменение функционала V[x(t)].

3a) Функционал V[x(t)] непрерывен при x₀(t) в смысле близости k-го порядка, ес ли для любого можно подобрать такое , что |V[x(t)-V[x₀(t)]| при , ,- - - - - - - .

4. Линейным функционалом называется функционал L[x(t)], удовлетворяющий условиям: L[C*x(t)] =C*L[x(t)], где С - произвольная постоянная, и L[x₁(t)+x₂(t)]=L[x₁(t)]+L[x₂(t)]

Примером является

5. Если приращение функционала V = V[x(t)+x]-V[x(t)] можно представить в виде V=L[x(t),x]+B(x(t),x)*(x+x,x), где L[x(t),x] – линейный по отношению к x функционал, и B(x(t),x)0 при (x+x,x)0, то линейная по отношению x часть приращения функционала, т.е. L[x(t),x], называется вариацией функционала и обозначается V.

6. Теорема. Если функционал V[x(t)], имеющий вариацию, достигает минимума при x₀(t), где x₀(t) – внутренняя точка области определения функционала, то V = 0.

Если V0, то при достаточно малом расстоянии (x+x,x) знак правой части совпадает со знаком V, но V меняет знак при изменении знака x вследствие линейности, следовательно, при достаточно малом (x+x,x) и знак V изменяется при изменении знака x, т.е. при x₀(t) не достигается ни максимум, ни минимум. Таким образом, необходимым условием экстремума функционала является V=0.

2. Основные понятия вариационного исчисления: функционал, сильный и слабый экстремум функционала, условия экстремума.

Переменная величина V называется функционалом, зависящим от функции x(t) (что обозначается так: V = V[x(t)], если каждой функции из некоторого класса соответствует значение V, т. е. имеет место соответствие: функции x(t) соответствует число V.

Пример 1:

Набору функций e^-t/T1, e^-t/T₂ , …, e^-t/T_n будут соответствовать числа , …, _.

Пример2: функционал зависит не только от функции , но и ее производной x(t). Известно, что длина кривой x(t) сое диняющей на плоскости x, t точки t=0, x=0 и t=1,x=1 будет равна интегралу ; x^’(t)=

Функции, обеспечивающие экстремум функционала, называются экстремалями.

По определению функционал V[x(t)] достигает на кривой x₀(t) минимума, если значение функционала V[x(t)] на любой, достаточно близкой к х₀(t) кривой не меньше, чем V[x₀(t)], т.е.

V = V[x(t)] - V[x₀(t)] = 0.

Данное понятие экстремума нуждается в уточнении. Говоря о максимуме или минимуме функционала, мы имеем в виду наибольшее или наименьшее значение функционала по отношению к его значениям на близких кривых, но близость кривых может быть понимаема различно. Так н-р, если значение функционала на некоторой кривой меньше, чем на всех других допустимых кривых, близких в смысле близости нулевого порядка, то говорят, что на этой кривой достигается сильный минимум.

Если же на кривой х₀(t) достигается минимум по отношению к более узкому классу (множеству) кривых, для которых не только модуль разности мал, но мал также и , т.е. имеет место близость первого порядка, то минимум называется слабым.

Подчеркнем, что сильный минимум является одновременно и слабым, но не наоборот, так как этот экстремум определяется по отношению к более широкому классу кривых.

Необходимо отметить, что в сформулированной простейшей задаче вариационного исчисления определяется слабый минимум. И вообще для классического вариационного исчисления характерно в основном исследование задач на слабый экстремум функционалов. Условия сильного экстремума устанавливает принцип максимума Л.С. Понтрягина.

5. Если приращение функционала V = V[x(t)+x]-V[x(t)] можно представить в виде V=L[x(t),x]+B(x(t),x)*(x+x,x), где L[x(t),x] – линейный по отношению к x функционал, и B(x(t),x)0 при (x+x,x)0, то линейная по отношению x часть приращения функционала, т.е. L[x(t),x], называется вариацией функционала и обозначается V.

6. Теорема. Если функционал V[x(t)], имеющий вариацию, достигает минимума при x₀(t), где x₀(t) – внутренняя точка области определения функционала, то V = 0.

Если V0, то при достаточно малом расстоянии (x+x,x) знак правой части совпадает со знаком V, но V меняет знак при изменении знака x вследствие линейности, следовательно, при достаточно малом (x+x,x) и знак V изменяется при изменении знака x, т.е. при x₀(t) не достигается ни максимум, ни минимум. Таким образом, необходимым условием экстремума функционала является V=0.

Введенное понятие вариации функционала, как главной линейной части приращения, известное в математической литературе [Колмогоров А.Н., Тихомиров] под названием сильного дифференциала (дифференциала Фреше) функционала, относительно сложно вычислить для некоторых функционалов. В связи с этим появилось понятие слабого дифференциала (дифференциала Гато)

(в принципе, впервые так определил вариацию функционала Лагранж), где функция *(t) есть вариация аргумента x(t) и принадлежит тому же классу функций, что и x(t);  - параметр.

Доказана теорема [Колмогоров А.Н.], что если существует сильный дифференциал функционала, то существует и слабый дифференциал (но не наоборот), причем в этом случае дифференциалы совпадают.