6 Дифракция Фраунгофера на решетке. Дифракция рентгеновских лучей. Разрешающая сила оптических приборов.

На дифракционной решетке

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера на объекте, представляющем собой совокупность N нескольких бесконечно длинных щелей, имеющих одинаковую ширину b и расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Такой объект принято называть дифракционной решеткой. Обозначим через d расстояние между центрами соседних щелей (период решетки). Пусть на дифракционную решетку падает нормально монохроматическое излучение с длиной волны l. Для определения интенсивности света, распространяющегося в направлении, составляющем угол j с нормалью, воспользуемся принципом Гюйгенса-Френеля.

Амплитуды волн, приходящих в т. Nj от каждой из щелей, равны и выражаются формулой (4'), однако разность фаз между волнами, приходящими от соседних щелей, будет равна кdsinj.

Введем обозначение d = 1/2 кdsinj = pdsinj/l.

Чтобы получить возмущение, посылаемое всей решеткой, необходимо просуммировать по всем N щелям, т.е.

Cумма в (9) представляет собой геометрическую прогрессию, первый член которой равен единице, а показатель прогрессии - q=exp (-i2d). Таким образом

В итоге для возмущения в направлении j получаем

С учетом того, что

получаем выражение для интенсивности дифрагированных лучей под углом j в виде

Формулу (12) можно представить в виде произведения двух членов. Первый член, называемый дифракционным, имеет вид

и описывает дифракцию на одной щели размера b. Вид этой функции (рис.6б) совпадает с приведенным на рис.4. Второй член, равный

описывает интерференцию излучения, приходящего от различных щелей, и носит название интерференционного.

Исследуем более подробно вид функции (14), изображенный на рис.6а. Числитель в формуле (14) обращается в нуль при d=0, p/N, 2p/N, ...., (N-1)p/N, p, (N+1)p/N,... однако для каждого N-ого значения d=0, p, 2p,... в нуль обращается и знаменатель. Воспользовавшись предельным переходом, можно получить, что для этих значений угла функция (14) имеет одинаковое максимальное значение, равное N². Таким образом, для этих значений угла d интенсивность будет максимальной. Между этими максимумами, называемыми главными, располагаются (N-1) добавочных минимумов, соответствующих нулевым значениям числителя в формуле (14). Так как между любыми двумя соседними добавочными минимумами имеется добавочный максимум, интенсивность которого существенно меньше интенсивности ближайших главных максимумов, то общее число добавочных максимумов между главными равно (N-2).

Разрешающая способность оптических приборов

Характеризует их способность давать раздельные изображения двух близких друг к другу точек объекта. Из-за дифракции света изображение точки — кружок (светлое пятно, окружённое кольцами). Наименьшее линейное или угловое расстояние между двумя точками, начиная с которого их изображения сливаются, называется линейным или угловым пределом разрешения. Количественной мерой Разрешающей способности обычно служит обратная величина.

Разрешающая способность это отношение

R= лямбда /сигма лямбда

– наименьшая разность длин волн которые может разрешить спектральный прибор. Две линии считаются разрешенными если максимум одной линии попал на минимум другой .

Используя даже идеальную оптическую систему (такую, для которой отсутствуют дефекты ), невозможно получить стигматическое изображение точечного источника, что объясняется волновой природой света. Изображение любой светящейся точки в монохроматическом свете представляет собой дифракционную картину, т. е. точечный источник отображается в виде центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.

Согласно критерию Рэлея, изображения двух близлежащих одинаковых точечных источников или двух близлежащих спектральных линий с равными интенсивностями и одинаковыми симметричными контурами разрешимы (разделены для восприятия), если центральный максимум дифракционной картины от одного источника (линии) совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другого (рис. 265, а). При выполнении критерия Рэлея интенсивность «провала» между максимумами составляет 80% интенсивности в максимуме, что является достаточным для разрешения линий l₁ и l₂. Если критерий Рэлея нарушен, то наблюдается одна линия (рис. 265, б).

Разрешающая способность дифракционной решетки.  R=mN

Таким образом, разрешающая способность дифракционной решетки пропорциональна порядку m спектра и числу N щелей, т. е. при заданном числе щелей увеличивается при переходе к большим значениям порядка m интерференции. Современные дифракционные решетки обладают довольно высокой разрешающей способностью (до 2×10⁵).