8 .Фазовая скорость. Суперпозиция волн. Стоячие волны. Групповая скорость.

Фазовая скорость – это скорость распространения фазы волны

выражение для фазовой скорости:

    Скорость распространения фазы есть скорость распространения волны. Т.е. υ  в уравнении волны есть фазовая скорость. Для синусоидальной волны скорость переноса энергии равна фазовой скорости. Но синусоидальная волна не несет никакой информации, любой сигнал – это модулированная волна, т.е. несинусоидальная (негармоническая).

      При решении некоторых задач получается, что фазовая скорость больше скорости света. Здесь нет парадокса, так как скорость перемещения фазы – это не скорость передачи (распространения) энергии, которая не может распространяться со скоростью большей, чем скорость света с.

 Принцип суперпозиции (наложения) волн заключается в следующем: в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга, то есть волна не изменяет свойства среды, и другая волна распространяется так, будто первой волны нет. Это позволяет вычислять итоговую волну как сумму всех волн, распространяющихся в данной среде. При сложении двух или более синусоидальных волн результирующая волна в общем случае уже не будет синусоидальной. Рассмотрим в качестве примера результат сложения двух плоских однонаправленных волн с одинаковыми амплитудами и разными, но близкими частотами и волновыми числами:

        Полученная волна не является синусоидальной, так как величина перед синусом (амплитуда волны) меняется со временем и координатой. Однако, если на длине волны (и в течении периода) её изменения малы (что имеет место при малых dk и dw), волна ещё похожа на синусоиду; её иногда называют квазисинусоидальной. График этой волны представляет собой то, что мы в теории колебаний назвали биениями; однако здесь, в отличие от маятника, биения происходят не только во времени, но и в пространстве.

Стоячие волны

Очень важный случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Стоячая волна это возникающий в результате колебательный процесс. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Групповая скорость волны

В результате суперпозиции нескольких синусоидальных волн образуется несинусоидальная волна с каким-то набором частот и волновых чисел. За скорость распространения такой волны в пространстве берётся скорость распространения фиксированной амплитуды. Но если в случае простой синусоидальной волны эта скорость совпадает со скоростью распространения фиксированной фазы (мы назвали эту скорость фазовой), то в случае сложной несинусоидальной волны сама амплитуда зависит от времени и координат. Амплитуда сложной волны есть:

Фиксированная амплитуда А будет удовлетворять условию: 

Взяв полный дифференциал от этого выражения, получим (независимые координаты у нас x и t): 

Скорость распространения фиксированной амплитуды в несинусоидальной волне получается следующей:

        Эта скорость называется групповой скоростью волны. Она в общем случае отличается от фазовой скорости n:

Связь между этими скоростями можно легко получить (учтя зависимость частоты и волнового числа от длины волны):

        Среда называется диспергирующей если в ней волны разной длины распространяются с разной скоростью. Зависимость скорости волны (фазовой) от длины волны называется дисперсией.

        Видно, что групповая скорость будет совпадать с фазовой только в 

недиспергирующих средах, где составляющие сложной волны будут перемещаться с одинаковой скоростью, и сама сложная волна не будет менять своей формы (не будет "расплываться").

        Для монохроматической  (так называется простая синусоидальная волна, имеющая одну частоту) фазовая и групповая скорости всегда совпадают, даже в диспергирующих средах.

        Фазовая скорость есть чисто абстрактное математическое понятие, эта скорость не связана с перемещением в пространстве чего-либо материального.

        Групповая скорость связана с перемещением в пространстве возмущения фиксированной амплитуды; поскольку энергия волны связана с её амплитудой, групповая скорость есть скорость распространения энергии в пространстве.

        В общем случае фазовая скорость может превышать скорость света (в случае, например, электромагнитной волны, или волн Де Бройля). Групповая же скорость, в полном согласии с теорией относительности, всегда меньше либо равна скорости света.

Физическая оптика