37. Распространение света в изотропных диэлектриках, фазовая и групповая скорости.

Фазовой скоростью v монохроматичной волны принято называть скорость распространения волнового фронта. В среде с показателем преломления n фазовая скорость υ равна 

Здесь ω – круговая частота, k – волновое число, c – скорость света в вакууме.

К ак показывает опыт, все без исключения среды обладают дисперсионными свойствами – волны разных частот распространяются в средах с различными фазовыми скоростями. Это явление называют дисперсией. Закон дисперсии можно задать либо в виде зависимости показателя преломления от частоты  , либо в виде функции  , либо, наконец, в виде зависимости волнового числа от частоты  . В качестве аргумента в законе дисперсии может быть вместо ω  использована длина волны λ  в среде. При распространении монохроматической волны в среде с дисперсией никаких особых явлений не наблюдается; волна распространяется со своей фазовой скоростью, которая определяется значением показателя преломления на частоте волны. Но если в диспергирующей среде одновременно распространяется группа волн разных частот, то по мере распространения волн возникают фазовые сдвиги между отдельными спектральными компонентами. При этом происходит деформация формы суммарного процесса. Если на входе в диспергирующую среду возмущение имело вид импульса (волнового пакета) определенной формы, то после прохождения некоторого слоя форма импульса может существенно измениться. В общем случае наблюдается расплывание волнового пакета:

В опрос о скорости распространения волнового пакета в среде с дисперсией достаточно сложен и неоднозначен. Можно, например, следить за перемещением переднего фронта (точка A на рис. 6.1). Обычно в теории рассматривается так называемая групповая скорость, то есть скорость перемещения центра волновой группы или точки с максимальным значением амплитуды (точка B). Волновой пакет — определённая совокупность волн, обладающих разными частотами, которые описывают обладающую волновыми свойствами формацию, в общем случае ограниченную во времени и пространстве. Групповая скорость — это кинематическая характеристика диспергирующей волновой среды, обычно интерпретируемая, как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей узкого квазимонохроматического волнового пакета. Разложим частоту в ряд Тейлора как функцию от :

После этого, ограничившись лишь членами первого порядка малости относительно , найдём: Опять-таки учитывая лишь члены первого порядка малости, после интегрирования по , получим: , и результирующая амплитуда волнового пакета будет равна

Отсюда следует, что амплитуда не остается постоянной ни в пространстве, ни во времени. Также видно, что пространственное распределение волнового пакета подчиняется аналогичному закону , где , ,  — некоторые величины, в общем случае переменные и зависящие от расстояния до точки главного максимума и от времени.

Чтобы определить групповую скорость движения волнового пакета в целом необходимо положить , и тогда . Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации квазисинусоидальной волной. Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля итп). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно). Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии: ,где ω — угловая частота, k — волновое число. Групповая скорость волн в пространстве (например, трехмерном или двумерном) определяется градиентом частоты по волновому вектору : или (для трехмерного пространства):