Шпоры по уравнениям математической физики

1. Квазилинейное уравнение первого порядка. Характеристические направления и характеристики квазилинейного уравнения.

Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно U, U_x, U_t.

Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно U_x и U_t.

Рассмотрим оператор LU = aU_x+bU_t

Опр. Направление l называется характерестическим направлением оператора L в фиксированной точке (x,t) на данной ф-ии U(x,t)

Опр. Гладкая кривая Г, в каждой точке которой l является касательной называется характеристикой оператора L на данной ф-ии U(x,t)

Опр. Если U(x,t) является решением уравнения LU+f=0, то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t)

Диф уравнение характеристик:

Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике.

2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t)

2. 2. Метод характерсистик решения задачи Коши для линейного уравнения 1 порядка

Строим решение методом характеристик

1)

2)Проводим характеристику через интересующую нас точку (x,t), x₀(x,t) – точка пересечения характеристики с осью x.

3)

3. 3. Метод характеристик решения задачи Коши для квазилинейного уравнения 1 порядка. Понятие градиентной катастрофы

2. Явление образования разрыва в решении краевых задач для квазилинейных уравнений, обусловленное пересечением характеристик называется градиентной катастрофой.

1. 4.Приведение квазилинейных дифференциальных уравнений 2 порядка к каноническому виду. Характеристики гиперболических уравнений.

1)Δ=a₁₂²-a₁₁a₂₂>0 –уравнение гиперболического типа

U_ξη+F(ξ,η,U,U_ξ,U_η)=0

Δ<0 – уравнение эллиптического типа

U_ξξ+U_ηη+F(ξ,η,U,U_ξ,U_η)=0

Δ=0 – уравнение парболического типа

U_ξξ +F(ξ,η,U,U_ξ,U_η)=0 или U_ηη +F(ξ,η,U,U_ξ,U_η)=0

Пусть Δ>0

Потребуем, чтобы α₁₁=α₂₂=0

Решаем квадратное уравнение относительно φ_x ψ_x.

5.Метод характеристик(распространяющихся волн) решения одномерного волнового уравнения

6.Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера.

7. 7.Решение 1 и 2 краевых задач для волнового уравнения на полупрямой.

Лемма. Пусть U(x,t) –решение задачи Коши на прямой.

И пусть F(x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные(чётные), тогда U(0,t)=0 (U_x(0,t)=0)

Док. По формуле Даламбера:

Если, (x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные

Следствие: Краевая задача на некотором промежутке с однородным граничным условием 1 и 2 рода можно свести к з. Коши на прямой, продолжив все неоднородности в уравнениях нечётно или чётно относительно концов промежутка.

8. Отражение волн на границе полупрямой.

U(x,t)=F(x-at)+G(x+at) – общее решение однородного волнового уравнения

1). Подставим начальные условия

2).Из граничного условия

Характеристики – нелинейная сетка новых координат.

(4)

Диф уравнение характеристик:

Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике.

2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 удовлетворяет на характеристике условию dU/-f = μdτ

Док. 1)

2)

(1)

9. Определение, непрерывность и аналитичность Г-функции. Аналитическое продолжение Г-функции с помощью соотношения Г(z+1)=zГ(z). График Г- функции.

Г-функцией или Эйлеровским интегралом 2 рода называют след ф-цию:

Св-во1: Г определена и аналитична в полуплоскости ReZ>0

Св-во2:Г(z+1)=zГ(z)

Доказывается через интегрирование по частям по частям.

Следствие1: Г(z)= ,n>N

Следствие2:Г(n+1)=n! Г(1)=n!

Св-во3:Г можно аналитически продолжить на с\(о,-1,-2,…).Точки 0,-1,-2..явл простыми полюсами и =res

=

10. Определение В-функции. Связь Г и В-функций.

В-функцией иил Эйлеровским интегралом 1 рода наз след ф-цию от двух переменных:

Cв-во1: определена и аналитична на обл. Rex>0,Rey>0

Св-во2: Связь Г и В ф-ций: В(x,y)=B(y,x)=

11. Функциональные свойства В и Г-функций.

1)B(x,y)=B(y,x) = –формула связи

2)B(z,1-z)=Г(z)Г(1-z)=

3)

Док-во (3): B(z,z)= симметрии =2=2

Следствие1: Г(n+1/2)=

Следствие2:

12. Уравнение гипергеометрического типа. Теорема о производных функций гипергеометрического типа.

Общий вид УГТ:

Опр. Нетривиальное решение УГТ наз. Функция гиперболического типа ФГТ

Теорема.1)ФГТ имеет непрер. Производную всюду,за исключением может быть нулей полинома

2)Производные сами являются ФГТ и удовл.уравнению

,

13. Самосопряжённый вид уравнения гипергеометрического типа.

Потребуем:

)-весовая функция

(σρ_n)'=τ_nρ_n

14. Полиномиальные решения уравнения гипергеометрического типа. Формула Родрига.

Теорема1.Для того чтобы частным решением УГТ был полином степени n, необходимо:

Док-во:Предположим , что

)

ч.т.д.

Теорема2.Пусть (

Тогда частным решением УГТ является полином степени n.

15. Достаточное условие ортогональности полиномов гипергеометрического типа. Классические ортогональные полиномы.

Пусть

Лемма.(Дост. Усл. Ортог-ти ПГТ)

Пусть

Тогда

16. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Якоби, Лежандра и Чебышева.

Классификация Коп

=0

полиномы Эрмита

полиномы Чебышева-Лагерра

(

x=az+b Полиномы Якоби

Уравнение для полиномов

y=0

Весовая функция

; ,

Формула Родрига для полиномов Якоби

Принято

17. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Чебышева- Лагерра.

Классификация Коп

=0

полиномы Эрмита

полиномы Чебышева-Лагерра

(

x=az+b

Полиномы Якоби

Уравнение для полиномов

Замена

Весовая функция

C=0,

,

Формула Родрига

Ортогональность

=0-дост.усл.орт-ти

=0,

-выполнено, если

-ортог на(0,) с весом

Частный случай

-полином Лагерра()

(17)

Ортогональность

=0

=0,

-выполнено, если

-ортог на(-1,1) с весом

Частные случаи

= пол .Лежандра

-

(16)

18.Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Эрмита

Классификация Коп

=0

полиномы Эрмита

полиномы Чебышева-Лагерра

(

x=az+b

Полиномы Якоби

Полиномы Эрмита )

Уравнение для полиномов

y=0 / *

Замена ,

y=0

,

Весовая функция

, C=0

Формула Родрига

Принято

19. Теорема о нулях классических ортогональных полиномов. Свойства чётности полиномов Якоби и полиномов Эрмита

Рассмотрим систему КОП ,орт-к по(a,b)

с весом ()

Св-во1.

Док:1) m=0, ,

2) Предположим, что

; ч.т.д

Св-во 2

Док-во:

Св-во 3

Все нули КОП простые и лежат внутри интервала ортогональности (a,b)

20.Интегральное представление классических ортогональных полиномов. Производящая функция для системы классических ортогональных полиномов

Интегральные представление КОП

, где простой контур С ориентирован протии часовой ,охватывает точку z и лежит в односвязной обл-ти

аналитическая ф-ия .

Док-во:

- ф-ла Родрига

-обобщ.ф-ла Коши для аналитична в односвязной обл D

-аналитична в D

- аналитична в D

ч.т.д

Опр.

Φ(z,t) наз. производящей ф-й для сист. КОП

, если

в круге

Св-во 6 Φ, где С-тот же что и в св-ве 5

Док-во:

по св-ву 5)

По опр-ю:

непер. на С→огр. на С→

M<1

-сход равном в круге

ч.т.д

21.Производящая функция для полиномов Лежандра.

Лемма

Для полин Леж

при

Док-во

Для полином Леж

Φ

Φ

По опр-ию Φ==

Замена s=-2t

При

22. Рекуррентные формулы для классических ортогональных полиномов. Вывод рекуррентных формул для полиномов Лежандра

3 последних КОП связаны след. рекурент соотн-м:

где ,

Док-во

по св-ву 1

;

−ву 2

/

ч.т.д.

23. Полнота системы классических ортогональных полиномов. Теорема о разложимости функции в ряд Фурье по системе КОП. Квадрат нормы полиномов Лежандра.

Свойство: Пусть – сходится. Тогда

Теорема разложимости: Пусть f(z) и f’(z) – кус. Непрерывны на любом

Лемма: Для полиномов Лежандра

Доказательство:

24 Определение сферических функций. Определение присоединённых ф-ий Лежандра.

Сферическими функциями называются собственные функции оператора Лапласса, удовлетворяющие условиям непрверывности(2) и периодичности(3)

25. Ортогональность и квадрат нормы присоединённых функций Лежандра.

Решение ур-ия Лежандра:

не огр на отр.[-1,1]

решение нашего ур-ия

K=0,1,2… n=k,k+1,…

Теорема.Присоедин. ф-ции Лежандра орт-ны на (-1,1) при фиксир к,т.е.:

Док-во:

Требуется док-ть ,что m=n . Предположим обратное: m<n

Рассмотрим , если m>0

По св-ву 2

не меняет знак на (a,b)

противоречие m=n

Св-во 4 (Св-во четности)

Полиномы Якоби при α=β и полиномы Эрмита являются честными, если n=2k

нечетными если n=2k+1

Док-во: 1)

2)

(19)

Ортогональность

=0

=0,

-выполнено, если

ортог на(-,+) с весом

(18)

26. Фундаментальные сферические функции и их свойства. Общее решение уравнения Лапласа в виде ряда Фурье по системе фундаментальных сферических функций. Шаровые функции.

Сферич.ф-ции след вида:

Наз.ФСФ порядка n

Св-во1:ФСФ явл собств.ф-циями оператора : отвечающие с.з.

Св-во2:ФСФ орт-ны на един.сфере,т.е

Св-во3:ФСФ образуют ортогональный базис в CL₂(D,)

D={

27. Уравнение Бесселя. Поиск решения уравнения Бесселя в виде обобщённого степенного ряда. Функция Бесселя.

Опр. Всевозможные решения уравнения Бесселя называются цилиндрическими функциями.

Ищем решение ур. Бесселя в виде обобщённого степенного ряда:

Билет 28. Сходимость степенного ряда для ф-ии Бесселя. Линейная зависимость функций Бесселя.

– ур-ие Бесселя

Ищем решения ввиде степенного ряда:

29. Функция Бесселя порядка . Асимптотическое представление целых ф-ии при .

Аналогично при -:

– ур-ие Бесселя – разделим на

Замена

Замечание: При или получаем

32. Функции Неймана и Ханкеля. Функ. соотношения цил. Функ.

Найдём цилиндрическую функцию, которая имеет другое асимптотическое представление

При целом ν:

- общее решение уравнения Бесселя

1. – функция Неймана

При целом ,

–л.н.з., т.к. имеют л.н.з. асимптотические представления при

2. – функции Ханкеля 1-ого (2-ого) рода

При , =

31. Асимптотические представления цилиндрических функций в окрестности точки нуль. Графики функций Бесселя и Неймана.

При ,

, ,

По формуле дополнения:

, ,

Если , то =

При ,

32. Модифицированные цилиндрические функции (цил. ф-ии мнимого аргумента). Асимптотические представления и графики.

– ур-ие Бесселя

– общее решение уравнения Бесселя

Сделаем замену , тогда

– модифированное уравнение Бесселя

– функция Бесселя мнимого аргумента

– Функция Макдональда

– монотонно возрастает на (0;+∞) при

При ,

Теорема. Любое вещественное решение уравнения Бесселя при имеет асимптотическое представление вида:

Где

Лемма. :

Теорема. Для любого R>0 ст.ряд сходится равномерно по z и в замкнутой области

Док-во:

Пусть =C

=C

Теорема. Ф-ии Бесселя при нецелом :

R=

(26)