Погрешности косвенных измерений
При
косвенных измерениях измеряемая величина
,
функционально связана с одной или
несколькими непосредственно измеряемыми
величинами
.
Рассмотрим
простейший случай определения ошибки
одной переменной, когда
.
Имеем
.
Разложив правую часть этого равенства в ряд Тейлора и пренебрегая членами разложения, содержащими в степени выше первой, получим выражение абсолютной погрешности
или
. (3.40)
Относительная ошибка измерения функции определится из выражения
. (3.41)
Если измеряемая величина Y является функцией нескольких переменных Y= f( ), то абсолютная погрешность результата косвенных измерений будет равна
,
(3.42)
где
,
,
- частные производные от Y
по
;
и т.д. – средние квадратические отклонения
результатов прямых измерений величин
.
Относительная погрешность результата косвенных измерений равна
.
(3.43)
Пример
- Пусть параметр
функционально связан с измеряемыми
параметрами зависимостью
.
Применив формулу (3.42), имеем
или в относительной форме
.
(3.44)
В большинстве практических случаев мы имеем дело с косвенными измерениями, в которых участвуют только два прямых измерения. Согласно теории вероятностей среднее квадратическое значение отклонения суммы двух величин от её математического ожидания вычисляется по формуле
, (3.45)
где
- коэффициент корреляции.
По степени коррелированности погрешности обычно подразделяют на два вида:
cильнокоррелированные
,cлабокоррелированные
.
Тогда из (3.44) для сильнокорелированных величин имеем
, (3.46)
для слабокоррелированных
. (3.47)
Погрешность
измерительной системы, состоящей из
последовательно соединённых приборов
(или преобразователей), необходимо
рассматривать как ряд независимых
случайных погрешностей и вычислять на
основании вышеприведённой формулы для
слабокоррелированных (независимых)
погрешностей.
Формулы для вычисления абсолютных и относительных погрешностей измерения некоторых, наиболее часто встречающихся в измерительной технике, функций приведены в таблице 3.4.
Таблица 3.4 – Формулы для вычисления погрешностей косвенных измерений
Функциональная
связь
|
Соотношение между среднеквадратическими ошибками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример
- Пусть
.
Значение
абсолютной погрешности равно
или в относительной форме
.
3.6 Контрольные вопросы к разделу 3
1) Дайте определение погрешности средства измерения.
2) Как классифицируются погрешности средств измерений?
3) Назовите виды погрешностей.
4) Перечислите погрешности средств измерений по форме числового выражения.
5) Дайте определение термину «инструментальная погрешность»?
6) Поясните, что такое класс точности СИ.
7) Является ли класс точности СИ непосредственной оценкой точности измерений, выполняемых этим СИ?
8) Может ли средство измерения иметь несколько классов точности?
9) Каким образом можно свести влияние систематической погрешности к минимуму?
10) Какая погрешность обусловлена особенностями оператора?
11) Чем может быть обусловлена погрешность метода измерения?
12) Чем статическая погрешность отличается от динамической?
13) Что такое случайное событие?
14) Как рассчитывается среднеквадратичное отклонение?
15) Что такое доверительный интервал и доверительная вероятность?
16) Сформулируйте «правило трех сигм».
17) Опишите порядок действий при обработке небольшого объема экспериментальных данных с использованием t – распределения Стьюдента.