2. Механизмы теплообмена

Теплообмен осуществляется тремя основными механизмами:

1. теплопроводностью;

2. излучением;

3. конвекцией;

2.1. Теплопроводность

Механизмы теплопроводности зависят от природы вещества. В твердых телах и электропроводных теплопроводность связывают с потомком электронов, в полупроводниках носители теплопроводности – вакансии. В кристаллических твердых телах (диэлектриках) теплопроводность отождествляют с колебаниями решетки. В жидкостях и газах теплопроводность объясняют столкновением молекул.

В основе современной теории теплопроводности лежит закон Фурье. Этот закон связывает плотность теплового потока с градиентом температуры.

,

где n – нормаль, – коэффициент теплопроводности;

– для одномерной стенки;

Рис. 2.1

Градиент температуры на рис. 2.1 имеет отрицательный знак.

В классической теории теплопроводности скорость распределения теплоты считается бесконечно большой. На самом деле скорость конечна, хотя и велика. Скорость распространения теплоты учитывают в некоторых быстро протекающих процессах, таких как электрический разряд, действие лазерного или рентгеновского излучения на материал. В дуговых источниках излучения плазменный разряд происходит в миллионные доли секунды.

2.1.1. Уравнение теплопроводности и его формы

Уравнение теплопроводности получено феноменологическим путем. Феноменология – наука, которая описывает явления с помощью математического аппарата. Чаще всего для этого описания применяются балансные соотношения, такие как уравнение сохранения энергии, импульса, массы, уравнение состояния.

Уравнение теплопроводности можно считать частным случаем уравнения энергии. В рамках феноменологической теории рассматривается элементарный объем линейным размером dх, в который поступает количество теплоты Q₀, а выходит – Q₁. В этом объеме происходит поглощение части теплоты. За это отвечает удельная теплоемкость с и плотность ρ. Количество теплоты, которое может быть передано, зависит от коэффициента теплопроводности .

+ (1)

Это – уравнение теплопроводности в ортотропном теле (коэффициенты теплопроводности различны для трех главных осей: x,y, и z).

Первый член отвечает за аккумуляцию (накопление) теплоты.

Оператор – темп нагрева/охлаждения.

с – удельная теплоемкость Дж/(кг·К);

кг/м³;

С=сρ – объемная теплоемкость, Дж/(м³·К);

В правой части этого уравнения первые три составляющие характеризуют тепловые потоки, которые распределяются по трем главным осям.

Уравнение (1) нелинейное, так как коэффициенты, стоящие перед операторами , , , , зависят от искомой функции Т. Решая задачу, можем найти Т(x,y,z, ), т.е. эволюцию температурного поля. С математической точки зрения это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных.

Последний член уравнения – внутренние источники/стоки теплоты (удельное тепловыделение). Вт/м³; иногда говорят: мощность внутренних источников теплоты.

В инженерных приложениях большое распространение получили одномерные варианты уравнения теплопроводности. Классическая теория теплопроводности хорошо разработана для линеаризованных (линейных) уравнений.

Так, уравнение (1) в одномерном и линейном случае можно записать:

(2)

Как видно, пропала зависимость коэффициента от температуры. Это уравнение с постоянными коэффициентами. Для решения применяются классические методы: преобразования Фурье, Лапласа, разделения переменных.

Однако, на практике, особенно при анализе высокотемпературных процессов, считать коэффициенты постоянными нельзя.

С решением нелинейных уравнений теплопроводности успешно справляются численные методы: метод конечных элементов, граничных элементов, метод конечных разностей.

Для линейных уравнений получены замкнутые зависимости, которые именуются формулами. Для нестационарных многомерных процессов эти формулы имеют громоздкий вид. К тому же, для получения конкретных численных результатов необходимо использовать ЭВМ. По этой же причине в настоящее время предпочтение отдается численным методам, а аналитические зависимости используются для проверки численных решений. В ходе такой проверки нелинейная модель искусственно загрубляется. Вместо температурных зависимостей коэффициентов вводятся их постоянные значения.

Частным случаем уравнения (2) является случай достижения линейного стационарного температурного состояния. Тогда:

; (3)

Если в теле отсутствую внутренние источники теплоты, то:

=0; (4)

Для цилиндрической и сферической стенки уравнение (2) может быть записано следующим образом:

; (2a)

; (2б)

Не трудно увидеть, что отличие от уравнения (2) выражается вторыми членами в скобках.

В случаях, когда толщина стенки R₁–R₂ , , R₂ стенку можно рассматривать как плоскую.

В тонкостенных телах перепад температур по толщине мал; можно считать, что температура изменяется только во времени.

Рис. 2.2

Таким образом, температура на фронтальной поверхности T_w1 равна температуре на тыльной поверхности T_w2 : T_w1=T_w2=f( ). Уравнение теплопроводности в этом случае вырождается:

;

Конкретная структура зависит от условий теплообмена, определяется тепловыми нагрузками.

Одним из законов, регулирующих отвод (подвод) теплоты, является закон Стефана-Больцмана: ,

где Вт/(м²·К⁴⁾ – постоянная Стефана-Больцмана, – излучательная способность, степень черноты.

В случае одностороннего подвода теплоты и двустороннего отвода:

;

;

В частном случае нет изменения температуры

= 0 ;

В случае конвективного нагрева . В случае радиационного нагрева усваивается только часть теплоты, которая определяется поглощательной способностью А.

;

;

Температура, которая определяется по этой формуле и предыдущей, называется равновесной (равенство между количеством подведенной и отведенной теплоты).