3. Метод решения.

Выполнение преобразований.

Вводятся параметры:

И вместо уравнений (1) получаем систему:

(1а)

_, (1б)

где .

Решение этих уравнение учетом граничных условий дает:

(5)

(6)

С помощью уравнения (4) определяется значение

(7)

Введены следующие обозначения

где – безразмерный параметр радиационного кондуктивного теплообмена. В соседствуют параметры, отвечающие за отвод теплоты в пространство, и коэффициенты теплопроводности/коэффициенты кондуктивного теплообмена и .

– представляет собой безразмерную температуру.

Наиболее простой случай соответствует В этом случае:

При (случай гипотетический, обл. 1 –в абсолютной тени).

После определения каждое из уравнений (1) и (2) можно решить независимо.

7.1.2. Задача №2

Температурное состояние оболочки бака, частично заполненного жидкостью.

1. Геометрическая модель

Распределение температуры в жидкости и над зеркалом жидкости.

На внешней поверхности бака, а также над зеркалом жидкости коэффициент теплоотдачи отличается от и в жидкости.

Рис. 7.3

Содержательная постановка задачи: бак частично заполнен криогенной жидкостью. Имеется значительный перепад температур вдоль поверхности бака. Интерес представляет оценка этого перепада и, главным образом, характер изменения в зоне раздела между жидкостью и баком.

Важно установить степень влияния на распределение температуры, характеристик теплообмена (коэффициента теплоотдачи и температуры) и теплофизических свойств.

2. Физическая модель

1. Процессы теплообмена одномерные, стационарные. Температура в стенке бака изменяется только вдоль поверхности и постоянна в каждом сечении по толщине.

2. Коэффициент теплоотдачи в жидкости >> чем в газе: ;

3. Коэффициенты теплоотдачи – постоянны;

4. Форма и размеры бака не изменяются h=const.

3. Математическая модель

(1)

(2)

(1), (2) – обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Для получения однозначного решения к каждому из этих уравнений необходимо присоединить по 2 граничных условия:

При и при имеем

(3)

.

И второе граничное условие, которое выражает неразрывность температур и тепловых потоков:

или (4)

4.Метод решения

(а)

Решением является:

(б)

При условии, что

Другой вариант решения:

(в)

В этом случае (в), если действительны, то при

, корни и будут комплексными, и вместо (б) имеем следующее решение:

;

(г)

Решение уравнений (1), (2) с учетом граничного условия (3) имеет вид:

(5)

С учетом граничных условий (4) из (5) можно получить:

При получении численных результатов следует принять во внимание, что exp(-3)~0,05=е^-3 – примерная точность нижеприведенных расчетов. А следовательно, на практике можно считать, что неравномерность распределения температуры будет сказываться лишь в зоне:

Первое значение характерно для практически безветренной погоды, второе – при довольно интенсивном обдуве корпуса ракеты потоком ветра.

  Вт/(м²К);

 Вт/(м²К);

Толщина стенки бака:  м;

 Вт/(мК) – первое значение для нержавеющих сталей, а второе для хорошо проводящих тепло материалов (типа алюминиево-магниевых или литиево-алюминиевых).

В итоге если положить

м

Если представить, что (в космическом пространстве), можно написать, что:

Отношение α_ж/α_г обычно велико, и поэтому температура мало отличается от температуры жидкости. В этом случае температуру всей смоченной части бака можно считать равной температуре жидкости.