Доверительный интервал

, где t(p,f) - коэффициент Стьюдента при заданной доверительной вероятности p (обыно принимается значение 95%) и числе степеней свободы f.

тоже распределены по нормальному закону:

т.о.

Величина - это доверительный интервал, который используется в аналитической химии для оценки воспроизводимости.

лекции читает А.В.Гармаш, химический факультет МГУ

Рассматривая метод наименьших квадратов (см. предыдущие выпуски рассылки), мы обратили внимание на случаи, когда применение МНК ведет к различным негативным последствиям. Эти случаи заключаются в невыполнении условий применения МНК, одним из которых является независимость остатков и постоянство их дисперсии. Пример, при­веденный на рис. 1 показывает, что прогноз значения показателя в точке значи­тельно отличается от истинного значения. Ис­ходя из критерия минимума среднеквадрати­ческой ошибки на точках обучающей последо­вательности, который является базисом МНК, наилучшим приближением эксперименталь­ной зависимости является прямая. В то же время, очевидно, что дисперсии остатков из­меняются по некоторому закону (квадратиче­скому или типа квадратного корня).

В общем случае, такое явление приводит к тому, что оценки параметров по МНК будут несмещенными, состоятельными, но неэффективными и формулу для стандартной ошибки оценки адекватно применять нельзя. Напомним, что:

-         оценка параметра называется несмещенной, если , где - математическое ожидание;

-         оценка параметра называется состоятельной, если (сходимость по вероятности);

-         оценка параметра называется эффективной, если она имеет минимальную дисперсию в некотором классе оценок.

Если дисперсия остатков изменяется для каждого наблюдения или группы наблюдений, т.е. , где, в общем случае, - неизвестный параметр, а - известная симметричная положительно определенная матрица, то такое явление называется гетероскедастичностью. Если же , то имеем гомоскедастичность.

В случае простой однофакторной модели устранить гетероскедастичность просто. Достаточно левую и правую часть модели поделить на . Для многофакторной модели такое преобразование значительно усложняется.

Для проверки наличия гетероскедастичности используют четыре метода, в зависимости от природы исходных данных: критерий , параметрический тест Гольдфельда-Квандта, непараметрический тест Гольдфельда-Квандта, тест Глейсера. Приведем алгоритмы каждого из методов.

Критерий применяется в случае значительной совокупности исходных данных.

Шаг 1. Значения показателя разбиваются на групп в соответствии с изменениями уровня величины (по возрастанию, например).

Шаг 2. По каждой группе данных вычисляем сумму квадратов отклонений , .

Шаг 3. Определим сумму квадратов отклонений в целом по совокупности наблюдений:

, де - количество элементов в - й группе.

Шаг 4. Вычислим параметр , де - количество наблюдений.

 

Шаг 5. Вычислим значение критерия , который приблизительно отвечает распределению со степенью свободы , если дисперсия всех наблюдений однородна.

Таким образом, если значение не меньше табличного значения при выбранном уровне доверия и степени свободы , то принимается гипотеза о наличии гетероскедастичности.

 

Параметрический тест Гольдфельда-Квандта применяется, если количество наблюдений невелико и сделано предположение о том, что дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату одной из независимых переменных, т.е. .

Шаг 1. Упорядочить наблюдения в соответствии с величиной элементов вектора , для которого предположительно выполняется вышеприведенное равенство.

Шаг 2. Исходя из соотношения , предложенного авторами метода, где - количество элементов , выбросить наблюдений, которые находятся в средине вектора.

Шаг 3. Согласно МНК построить две эконометрические модели по двум полученным совокупностям наблюдений размером , естественно при условии, что , где - количество независимых факторов, присутствующих в модели.

Шаг 4. Найти сумму квадратов остатков для первой и второй моделей:

и .

Шаг 5. Вычислить значение критерия , который соответствует - критерию со степенями свободы.

Таким образом, если , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается.

 

• Значительная часть материала заимствована из пособия:

Наконечный С.И., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Эконометрия. – К.: КНЭУ, 1997. – 352с.

 

Автокорреляция — статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени.

Данное понятие широко используется в эконометрике. Наличие автокорреляции случайных ошибок регрессионной модели приводит к ухудшению качества МНК-оценок параметров регрессии, а также к завышению тестовых статистик, по которым проверяется качество модели (то есть создается искусственное улучшение качества модели, чем это есть на самом деле). Поэтому тестирование автокорреляции случайных ошибок является необходимой процедурой построения регрессионной модели.

Коэффициенты автокорреляции также имеют самостоятельное важное значение для моделей временных рядов ARMA.