Регрессия

- зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от нек-рой другой величины или от нескольких величин. Если, например, при каждом значении х=x_i наблюдается n_i значений случайной величины Y, то зависимость средних арифметических

этих значений от x_i и является Р. в статистич. понимании этого термина. При обнаруженной закономерности изменения с изменением хпредполагается, что в основе наблюдаемого явления лежит вероятностная зависимость: при каждом фиксированном значении хслучайная величина Y имеет определенное распределение вероятностей с математич. ожиданием, к-рое является функцией х:

Зависимость , где хиграет роль "независимой" переменной, наз. р е г р е с с и е й (или ф у н к ц ие й р е г р е с с и и) в вероятностном понимании этого термина. График функции т(х)наз. л и н и е й р ег р е с с и и, или к р и в о й р е г р е с с и и, величины Y по х. Переменная хназ. р е г р е с с и о н н о й п е р е м е н н о й, или р е г р е с с о р о м. Точность, с к-рой линия регрессии Yпо хпередает изменение Yв среднем при изменении х, измеряется дисперсией величины Y, вычисляемой для каждого значения х:

Графически зависимость дисперсии s² (х)от хвыражается т. н. с к е д а с т и ч е с к о й л и н и е й. Если s² (х)=0при всех значениях x, то с вероятностью 1 величины связаны строгой функциональной зависимостью. Если s² (х)№0ни при каком значении хи т (х)не зависит от х, то регрессия Yпо хотсутствует..

В теории вероятностей задача Р. решается применительно к такой ситуации, когда значения регрессионной переменной х соответствуют значениям нек-рой случайной величины Xи предполагается известным совместное распределение вероятностей величин Xи Y(при этом математич. ожидание и дисперсия будут соответственно условным математич. ожиданием и условной дисперсией случайной величины Yпри фиксированном значении X=x). В этом случае определены две Р.: Y по х и X по у, и понятие Р. может быть использовано также для того, чтобы ввести нек-рые меры взаимосвязанности случайных величин X и Y, определяемые как характеристики степени концентрации распределения около линий Р. (см. Корреляция).

Функции Р. обладают тем свойством, что среди всех действительных функций f(x)минимум математич. ожидания достигается для функции f(x)= т (х), то есть регрессия Y по хдает наилучшее (в указанном смысле) представление величины Y. Наиболее важным является тот случай, когда регрессия Y по хл и н е й н а, т. е.

Коэффициенты b₀ и b₁, наз. коэффициентами Р., легко вычисляются:

(здесь r - корреляции коэффициент X и Y, ,

, и п р я м а я регрессии Y по х имеет вид

(аналогичным образом находится прямая регрессии Xпо у). Точная линейная Р. имеет место в случае, когда двумерное распределение величин Xи Y является нормальным.

В условиях статистич. приложений, когда для точного определения Р. нет достаточных сведений о форме совместного распределения вероятностей, возникает задача приближенного нахождения Р. Решению этой задачи может служить выбор из всех функций g(x), принадлежащих заданному классу, такой функции, к-рая дает наилучшее представление величины Y в том смысле, что минимизирует математич. ожидание . Найденная функция наз. с р е д н е й к в а д р а т и ч е с к о й Р.

Простейшим будет случай л и н е й н о й с р е д н е й к в а д р а т и ч е с к о й Р., когда отыскивают наилучшую линейную аппроксимацию величины Y посредством величины X, т. е. такую линейную функцию

, для к-рой выражение

принимает наименьшее возможное значение. Данная экстремальная задача имеет единственное решение

т. е. вычисление приближенной линии Р. приводит к тому же результату, к-рый получен в случае точной линейной Р.:

Минимальное значение при вычисленных значениях параметров равно . Если регрессия т(х)существует, то при любых b₀ и b₁ имеет место соотношение

откуда следует, что прямая средней квадратич. регрессии дает наилучшее приближение к линии регрессии т(х), если измерять расстояние вдоль оси у. Поэтому если линия т(х)есть прямая, то она совпадает с прямой средней квадратической Р.

В общем случае, когда Р. сильно отличается от линейной, можно поставить задачу нахождения многочлена нек-рой степени т, для к-рого среднее значение имеет возможно меньшее значение.

Такое решение задачи соответствует п а р а б о л ич е с к о й (или п о л и н о м и а л ь н о й) средней квадратической Р. (см. Параболическая регрессия).порядка т. Кривая есть парабола m-го порядка, дающая наилучшую аппроксимацию истинной линии Р. Обобщением параболической Р. служит функция Р., выраженная линейной комбинацией тех или иных заданных функций:

Наиболее важное значение имеет случай, когда j₀ (х), . . .,j_m (х) - ортогональные многочлены соответствующих порядков, построенные по распределению X. Другими примерами н е л и н е й н о й (к р и в о л ин е й н о й) Р. являются случаи тригонометрической Р., показательной Р., и т. п.

Понятие Р. естественным образом обобщается на тот случай, когда вместо одной регрессионной переменной рассматривается нек-рое множество переменных. Если случайные величины X₁ Х₂, . . ., Х _п имеют совместное распределение вероятностей, то множественная Р. определяется, напр., как регрессия X₁ по x₂, . . . , х _п:

Соответствующее уравнение определяет поверхность регрессии Х ₁ по х₂, . . ., х _n. Линейная регрессия Х ₁ по х ₂, . . ., х _п имеет вид

где b₂, . . ., b_n- коэффициенты Р. (при ). Линейная средняя квадратическая Р. величины Х ₁ по x₂, . . ., х _п определяется как наилучшая линейная оценка величины Х ₁ величинами Х ₂, . .., Х _п в смысле обращения в минимум выражения

Соответствующая п л о с к о с т ь Р. дает наилучшую аппроксимацию поверхности регрессии x₁=m(x₂, . . ., х _п), если последняя существует. Если поверхность Р. есть плоскость, то она необходимо совпадает с плоскостью средней квадратической Р. (так будет в случае, когда совместное распределение всех пвеличин нормально).

Простым примером регрессии Yпо Xявляется зависимость между Yи X, к-рая выражается соотношением , где , а случайные величины Xи dнезависимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи у=и (х)между неслучайными величинами уи х. Эта же модель Р. используется во многих приложениях при изучении характера зависимости случайной величины Yот неслучайной величины х. На практике выбор функции у=и (х)и оценку неизвестных коэффициентов Р. по экспериментальным данным производят методами регрессионного анализа.

Лит.:[1] К р а м е р Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] К е н д а л л М. Д ж., С т ь ю а р т А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973. А. <В. Прохоров.

Корреляция

КОРРЕЛЯЦИЯ [correlation] — величина, характеризующая взаимную зависимость двух случайных величин, X и Y, безразлично, определяется ли она некоторой причинной связью или просто случайным совпадением (ложной К.). Для того чтобы определить эту зависимость, рассмотрим новую случайную величину — произведение отклонения значений x от его среднего Mx и отклонения y от своего среднего My. Можно вычислить среднее значение новой случайной величины:

r_xy = M {(x – Mx) (y – My)}.

Это среднее получило название корреляционной функции, или ковариации. На ее основе (делением на корень из произведения дисперсий σ²_x, σ²_y, т. е. на произведение стандартных отклонений) строится коэффициент К.:

При нелинейной зависимости аналогичный показатель носит название индекса К.

Если x и y независимы, то R_xy = 0. Если же x и y зависимы, то обычно R_xy ≠ 0. Причем в тех случаях, когда зависимость полная, то либо R_xy = 1 (x и y растут или уменьшаются одновременно), либо R_xy = –1 (при увеличении одной из них другая уменьшается). Следовательно, коэффициент К. может изменяться от –1 до +1.

К. используется для выявления статистической зависимости величин при обработке данных. Наряду с указанной формулой используется ряд формул эмпирического определения тесноты корреляционной связи между наблюдаемыми признаками исследуемых величин

Анцупов А.Я., Шипилов А.И. Словарь конфликтолога, 2009 г.

ДЕТЕРМИНАЦИЯ – взаимозависимость и взаимовлияние систем. Любая общественная система функционирует, взаимодействуя не только с природой, но и с др. социальными системами, которые образуют по отношению к ней внешнюю историческую среду. Каждая социальная система, будучи частью (элементом) мирового сообщества, детерминируется этим целым, оказывая на него, в свою очередь, обратное воздействие. Влияние внешней исторической среды на развитие общества выражается, в частности, в действии закона исторической корреляции. Роль различных факторов в системе Д. конфликта не является одинаковой: если одни детерминанты определяют его возникновение, функционирование и развитие, то др. лишь влияют на него. Соответственно все детерминирующие факторы конфликта наиболее общим образом можно определить как главные и неглавные (второстепенные). Выделяются два основных уровня Д.: «сущностный» и «феноменологический». Первый характеризуется действием главных факторов, которые определяют природу конфликта, его существенные, необходимые стороны; а второй – действием второстепенных факторов, которые, определяя единичные черты конфликта, придают ему неповторимый и своеобразный вид. Довольно удачным вариантом типологии видов Д. является предложенная Я. Аскиным классификация на основе временных отношений. Соответственно временным модусам (прошлое, настоящее и будущее) выделяются три основных типа Д.: Д. из прошлого, из настоящего и из будущего, которые могут выступать как в материальной, так и в идеальной формах. Д. прошлым представлена, как причинность, условия и связь состояний; Д. настоящим – функциональная зависимость, корреляция, системная Д.; Д. будущим – Д. целью, зачатки будущего в явлении.