Свойства гармонических функций.

5. Гармоническая функция бесконечно дифференцируема в любых внутренних точках.

6. - интеграл по любой замкнутой поверхности внутри области гармоничности D. Следует из второй формулы Грина. Стационарное распределение возможно лишь тогда, когда тепловой поток равен нулю.

7. Теорема о среднем. Для любой гармонической функции в области D:

- равен своему среднему значению по любой сфере .

1. Теорема о максимумах и минимумах. Любая функция, гармоническая в области D и непрерывная на Г принимает своё максимальное и минимальное значения на границах и только на границах (кроме U=const).

4. Теорема о среднем для гармонических функций

Теорема о среднем: Для любой гармонической функции в областиD выполняется: - равна своему среднему значению по любой сфере с центром в точкер и радиусом R - .

Доказательство: запишем интегральную формулу:

Учтём что, . Функция- гармоническая в областиD, тогда . Последний интеграл исчез. Воспользуемся первым свойством гармонических функций: интеграл по любой замкнутой поверхности внутри области гармоничностиD равен нулю. Тогда получаем что, . Первый интеграл исчез. Рассмотрим второй интеграл, учтём, что производная по нормали совпадает с производной по радиусу:.

Чтд.

5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле.

Теорема о максимумах и минимумах. Любая функция, гармоническая в области D и непрерывная на Г принимает своё максимальное и минимальное значения на границах и только на границах (за исключением тривиального случая U=const).

Доказательство: пусть теорема не верна. - максимум достигается во внутренней точке. Применим теорему о среднем:, видим, что:.

Вычтем: , нозначит что разностьвсегда, аот неотрицательной непрерывной функции равен нулю в случае еслина сфере, то есть получили, что максимум достигается на границе сферы, и в то же время в самой точке Р. В силу произвольности выбора точки Р и радиусаR максимальное значение достигается во всей области D и в том числе на границе. Т.о. пришли к исключающему варианту теоремы (получен тривиальный случай). Следовательно, максимум достигается только на границе.

Чтд.

Теорема о минимумах доказывается аналогично, заменой (u) на (-u).

Следствия:

1. Единственность. Задача Дирихле имеет единственное решение, если её однородная задача имеет только тривиально решение.

Рассмотрим первую краевую задачу Дирихле. . Пусть задача Дирихле имеет два решения:, тогда:из теоремы оmах и min следует, что -во всей области D в том числе и на границе.

2. Корректность - непрерывная зависимость решений от дополнительных условий в любой конечной точке области.

Если имеем уравнение и два условия, причём(отличные на малую величину), то и(тоже мало отличаются). Докажем.

Пусть ,- гармоническая функция, тогда:, тогда по теореме о максимумах и минимумах везде в областиD верно: то есть малому изменению граничных условий отвечает малое изменение решений. Задача Дирихле корректна.

Пример некорректной задачи: - уравнение Лапласа. Рассмотрим задачу Коши:.

Рассмотрим два типа начальных условий: . Эти граничные условия мало отличаются при. Но решения не будут близкими при этом:, т.к.. Таким образом, решения будут различны при большихn.