15. Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства.

Рассмотрим задачу: найти собственные значения и собственные функции уравнения (1)при условии ограниченности (2). Ищем решение в виде:. Подставим в уравнение:. Это же уравнение получается для производной решения уравнения Лежандра:, если его продифференцироватьраз. Нетривиальное ограниченное решение уравнения Лежандра существует лишь при, где- целое положительное число. Отсюда следует, чтоесть решение уравнения (2), а функция- есть собственная функция задачи (1), соответствующая собственному значению.- присоединённая функция Лежандра-го порядка.

Свойства.

1) Норма присоединённых функций: .

2) Любая функция , непрерывная на отрезкеи обращающаяся в нуль на его концах прии, может быть равномерно аппроксимирована с любой степенью точности линейной комбинацией из присоединённых функций любого порядка .

16. Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных.

Запишем оператор Лапласа в сферических координатах:

: .

Решим уравнение Лапласа (1)методом разделения переменных. Ищем решение в виде:, подставим: (2). Запишем задачу для(функции не имеют особенности и определены на сфере).: (3)Задача: найти значения, при которых задача (3) имеет нетривиальное решение. Сферическими функциями называются любые нетривиальные решения задачи (3). Будем решать задачу (3) методом разделения переменных. Пусть, подставляем, домножив на, получаем:, получаем две задачи:и (5).

Решаем (4). или (тоже самое), для того чтобы выполнялась периодичностьдолжно быть целым:. Тогда.

Решаем (5). Сделаем замену: , учтем чтотогда. Делим (5) на:, получили уравнение для присоединённых полиномов Лежандра. Тогда.

П

m

олучили, что каждой паре целых чиселпри условиисоответствует:

- полный набор базисных сферических функций. Каждому соответствуетибазисных функций.

Перейдём к решению задачи для :. Ищем решение в виде:, подставляем:- шаровый функции,

тогда ,- решение уравнения Лапласа в сферических координатах.

17. Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д.

Сферическими функциями называются любые нетривиальные решения задачи .

Построим систему базисных функций, для этого решим задачу: найти значения , при которых задача имеет не тривиальное решение. Будем решать задачу методом разделения переменных. Пусть, подставляем, домножив наи получаем:, получаем две задачи:и (5). Решаем (4).или (тоже самое), для того чтобы выполнялась периодичностьдолжно быть целым:. Тогда. Решаем (5). Сделаем замену:, учтем чтотогда. Делим (5) на:, получили уравнение для присоединённых функций Лежандра. Тогда получаем решение:.

П

m

олучили, что каждой паре целых чиселпри условиисоответствует:

- система базисных функций. Каждому соответствуетибазисных функций. (Чтобы их можно было называть базисными, нужно иметь в виду, что они являются базисными в пространстве функций на сфере).

Эти сферические функции ортогональны между собой: , т.е. сферические функции образуют ортогональную систему в области.

Полученная система базисных функций является полной системой.

Теорема о разложении. Пусть - функция дважды непрерывно дифференцируемая , без особенностей, разлагается в ряд по сферическим функциям:, абсолютно и равномерно сходящийся, где коэффициенты определяются по формуле.

19