Оглавление

Оглавление 1

1. Уравнение Лапласа и Пуассона. 3

1. Физический смысл стационарной задачи 3

2. Примеры 3

3. Понятие о потенциалах 3

4. Постановка задач 3

2. Первая и вторая формулы Грина с оператором, следствия. 4

3. Гармонические функции. Интегральное представление. Их основные свойства. 6

4. Теорема о среднем для гармонических функций 8

5. Теорема о максимумах и минимумах для гармонических функций. Единственность и корректность задач Дирихле. 9

6. Функция Грина для краевой задачи с уравнением Пуассона. Её построение методом отображений. 10

7. Функция Грина для задачи с уравнением , понятия, определения. 11

a) решение задач с её помощью 11

9. Построение функции Грина в одномерном случае на отрезке 12

8. Теория потенциалов, определение, основные свойства. 14

a) Объёмный потенциал 15

10. Потенциал простого слоя 17

11. Потенциал двойного слоя 18

12. Решение задач Дирихле с уравнением Пуассона методом теории потенциалов 19

13. Сводная таблица6 общие сведения о потенциалах: 20

9. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах математической физики, примеры. 21

10. Уравнение с оператором с особенностью , свойства, ограниченность, постановка задачи. 22

11. Уравнение Бесселя. 23

a) особенность, построение ограниченного решения . 24

14. общее решение, , , , понятие о функциях . 25

15. асимптотика решений уравнения Бесселя, нули функции Бесселя. 26

16. краевая задача на собственные значения: , её решение, ортогональность собственных функций, теорема Фурье-Бесселя б/д. 28

17. модифицированное уравнение Бесселя, ограниченность решения , свойства, общее решение, понятие о функции . 30

18. Сводная таблица. 31

12. Краевая задача с двумя особыми точками на концах отрезка. Граничные условия. Условия самосопряжённости оператора . 33

13. Уравнение гипергеометрического типа. 34

a) Приведение к самосопряжённому виду. Весовые функции . Уравнение для производных(в следующем пункте). 34

19. Решение в виде полиномов. Формула Родрига. 34

20. Ортогональные решения полиномов. Свойства нулей. 35

14. Примеры: уравнения, краевые задачи, определение и свойства полиномов 37

a) Полиномы Лежандра. 37

21. Полиномы Чебышева-Лягера. 38

22. Чебышева-Эрмита. 39

23. Сводная таблица для уравнений гипергеометрического вида. 40

15. Уравнения, краевая задача для присоединенных полином Лежандра. Решения. Основные свойства. 42

16. Уравнение Лапласа в сферических координатах. Схема решения методом разделения переменных. 43

17. Сферические функции, определения, построение системы базисных функций. Ортогональность, полнота, теорема о разложении, б/д. 45

1. Уравнение Лапласа и Пуассона.

Уравнение вида: или- называется уравнением Лапласа.

- неоднородное уравнение Лапласа – уравнение Пуассона.

Обобщим эти уравнения: , гдер – некоторая точка трёхмерного пространства.

Система Коши – Римана:

Функции u(x,y) и v(x,y), удовлетворяющие этой системе, удовлетворяют уравнение Лапласа. Например, такая комплексная функция: , еслианалитическая,то обе части решения удовлетворяют уравнению Лапласа: и

1. Физический смысл стационарной задачи

Уравнение вида: или- называется уравнением Лапласа. Оно описывает стационарный процесс с установившимся распределением температуры сплошной среды. Описывает любые установившиеся процессы. При наличии источников тепла получаем уравнение:- неоднородное уравнение Лапласа – уравнение Пуассона.

2. Примеры

Уравнение теплопроводности: - описывает распределение температуры в сплошной среде. Если это распределение не зависит от времени, то уравнение теплопроводности примет вид:. Аналогично для колебаний.

3. Понятие о потенциалах

   Заряд в точке Q создаёт поле, которое описывается потенциалом , а этот потенциал,r – расстояние от точки Q до некоторой точки р. Величина удовлетворяет уравнению Лапласа для всех: . То же самое можно сказать о потенциале системы зарядов - это есть сумма потенциалов отдельных зарядов.

4. Постановка задач

Постановка задачи (можно поставить задачу для разного числа переменных) состоит из составления уравнения и определения области изменения переменных.

Начальных условий здесь не будет, т.к. задача стационарная, а граничные условия не будут зависеть от времени:

Пишем уравнение:

Задаём область: пусть некоторая область D ограничена контуром Г, p – внутренние точки области D: .

Задаём краевые условия: (линейное краевое условие).

Первая краевая задача: - температура на границе

Вторая краевая задача: - поток тепла через границу

Третья краевая задача: