
Билеты по уравнениям математической физики / экзамен 5-ый семестр / экзамен по урматам2
.doc9.Уравнение теплопроводности. Физический смысл.
Выведем уравнение,
описывающие распределение температуры
в теле. Пусть
-
температура тела в точке М в момент
времени t.
Будем пользоваться законом Фурье для
плотности потока тепла ω в направлении
в
единицу времени:
,
к – коэффициент теплопроводности, может
зависеть от температуры, точки и времени.
Рассмотрим часть тела D,
ограниченную поверхность S.
Пусть
-
плотность источников тепла. подсчитаем
баланс тепла для D
за малое время Δt: Q1=Q2+Q3,
где
-
приход за счёт источников тепла.
-
расход за счёт выходящего из D
потока.
-
расход на изменение температуры, где с
– коэффициент теплоёмкости, ρ – плотность
в-ва.
Тогда можно
записать:
,
откуда ввиду произвольности D
следует:
-
уравнение теплопроводности.
10. Задача Коши с однородным уравнением на прямой
а.Решение с точечным источником.
|
Решение: прокомментируем результат: в формуле участвует суммирование по “n” и интегрирование по Д, переставим их:
|
-
ядро, функция Грина (функция источника)
задачи.
Получим вид функции Грина:
Есть задача: |
Рассмотрим частный случай: решение
этой задачи: |
Проведём замену, при такой замене вид задачи не изменится:
|
Тогда для функции
υ можно записать выражение:
,т.е.
получили функцию одной переменной
,
решение свелось к решению для функции
одной переменной
.
Подставляем:
Интегрируем:
,
=0,
т.к. задача симметрична относительно ξ
, чётная функция => производная равна
нулю.
Интегрируем:
,
выбираем
из условия:
,
интегрируем,
,
значит
постоянен
во времени.
Прокомментируем полученный результат: чтобы понять, что такое функция Грина, рассмотрим следующую задачу:
|
в этом случае решение примет вид: |
|
т.е. то решение
задачи
)
в т.
.
При
в.Построение решения с известной функцией Грина.
Рассмотрим задачу:
её
решение:
Рассмотрим это решение: следовательно это решение удовлетворяет уравнению . следовательно это решение удовлетворяет начальным условиям. |
Рассмотрим частные случае:
Лемма1:
,
если
-
продлеваем нечётным образом, то решение
задачи Коши:
-
интеграл от нечётной функции в симметричных
пределах.
Лемма2:
,
если
,
то
Можно записать для задачи 1:
,
и
т.д.
с.Функция Грина в двумерном и трехмерном случаях.
трёхмерная задача Коши с постоянными коэффициентами: |
|
Лемма: если
,
то
-
каждое
является
решением одномерной задачи Коши с
соответств. начальными данными.(доказывается
подстановкой):
три одномерные задачи, их решения:
функция Грина в
трёхмерном пространстве:
.
начальное условие
соответствующие трёхмерной задачи.:
11.Смешанная
краевая задача и задача Коши с уравнением
.
|
Разбиваем
задачу на три, каждая из которых
вызывает одну причину: начальное
отклонение, (), внешние силы, т.е.
|
||
1)
Учитываем граничные условия: подбираем
u1
таким, что бы оно удовлетворяло
граничным условиям:
|
2)
Учитываем начальные условия, не
учитываем правую часть: ищем u2
такое, которое удовлетворяет однородному
уравнению и однородным граничным
условиям, а также получим новые
начальные условия:
|
3)
Учитываем начальные условия, не
учитываем правую часть: ищем u3
такое, что бы оно удовлетворяло
неоднородному уравнению, и получаем
для него нулевые условия:.
Мы разделили задачу таким образом, что сумм этих трёх частей удовлетворяет исходным уравнению и условиям. |
Рассмотрим все эти задачи по отдельности:
ВОПРОС12а! 2)
|
Задача
на собств. знач.:
Если
решение есть оно должно удовлетворять
решению и начальным условиям.
|
||
|
|||
3)
|
Воспользуемся
т. с. зн.
|
|
|
|
|
b. Постоянные коэффициенты на отрезке.
Рассмотрим смешанная краевая задача с однородным уравнением с постоянными коэффициентами на отрезке.
можно
решить методом разделения переменных,
или в общем виде:
(см.
предыдущий билет).
В нашем случае:
есть
решение:
коэффициенты
находим их начальных условий.
13.Теорема о max и min
Рассмотрим уравнение:
Всякое решение этого уравнения
,
непрерывное в области
,
принимает наибольшее и наименьшее
значения или на нижней границе области
при
,
или на боковых границах
Доказательство: если
=const,
то утверждение очевидно, пусть
.
Докажем теорему для наибольшего значения:
– наибольшее значение
на
границах
– наибольшее значение в области
Надо доказать, что
=
.
предположим что
>
.
Введём вспомогательную функцию:
,
она достигает наибольшего значения в
области
в
некоторой точке
,
очевидно, что
,
т.к.
в
.
Точка
не
может лежать ни на одной из граней, т.к.:
,
а
таким образом, точкапринадлежит
области
,
поэтому в ней функция
должна
удовлетворять (1), но
получили противоречие, значит
=
ч.т.д.