3Й учебный вопрос. Моделирование сезонных и цикличесикх колебаний с помощью рядов Фурье.

В основе такого способа моделирования лежит теорема Фурье, согласно которой любая периодическая функция, заданная в некотором промежутке, может быть разложена на ряд простых гармонических колебаний и в конечном счете представлена тригонометрическим рядом вида:

y = f(t) = A₀+A₁ sin (kt +e₁) + A₂ sin (2kt + e₂)…

Каждое слагаемое здесь представляет собой синусоиду – формулу простого гармонического колебания (гармонику), где A_i –полуамплитуда, а

e₂ –фаза колебаний, т.е. характеризует точку, в которой ордината соответствующей синусоиды имеет нулевое значение; k – связано с периодом колебаний T равенством:

k = 2π/T

Впервые с помощью рядов Фурье стали моделировать периодические колебания временных рядов экономических показателей такие специалисты как Г.Мур (США), а также Бэверидж и Энстром (Швеция) в 20е годы XX века. Эти методы были перенесены в эконометрику из астрономии, метеорологии, физики. Именно в этот период такие ученые как К.Жюгляр (французский физик, впоследствии ставший экономистом), а также С.Китчин, С.Кузнец, Н.Кондратьев начали заниматься исследованием циклического характера экономических процессов.

Динамика очень многих экономических показателей, после исключения из временного ряда тенденции, представляется в виде волнообразной кривой. Если бы удалось разложить эту кривую, хотя бы приближенно, на сумму гармоник, то это дало бы базу для прогноза изменения интересующего нас экономического показателя. Следовательно, задача моделирования временного ряда с помощью ряда Фурье сводится к нахождению соответствующих параметров – полуамплитуд A_i по известным наблюдаемым значениям (статистическим данным), если известны периоды отдельных гармоник. Для отыскания периода колебаний T или связанного с ним k - используется так называемый метод периодограмм-анализа. Он состоит в том, что в качестве первого приближения берутся два первых члена ряда, т.е. полагают, что y =A₀+A₁ sin (kt +e₁), а затем испытывают различные произвольные значения T – целые и дробные. Для каждого из испытываемых периодов вычисляются A₁ и e₁. Затем строится так называемая периодограмма, т.е. график, где на оси абсцисс отмечаются периоды, а на оси ординат откладывается (A₁)² – или интенсивность колебаний, соответствующая этим периодам. Большей интенсивности колебания отвечает большая вероятность того, что соответствующий ей период не случаен. Затем, выбрав периоды, соответствующие наибольшим интенсивностям, можно представить рассматриваемую волнообразную кривую в виде суммы простых гармоник, имеющих эти периоды, соответствующие A_i. Следует отметить, что применение периодограмм-анализа не требует предварительного исключения тенденции.

Параметры ряда Фурье могут быть определены на основе метода наименьших квадратов, так же как параметры уравнений регрессии, по следующим формулам:

a₀ = Σy/n

a_k = 2/n Σy cos kt

b_k= 2/n Σy sin kt

При анализе внутригодовой динамики по месяцам значение n принимается за 12. Вводится условное обозначение времени t выраженное в радианах. Затем рассчитываются параметры модели динамического ряда с учетом сезонных колебаний.

Пример расчета приведен в таблице 9.6.

Таблица 9.6.

Моделирование сезонных колебаний товарооборота

Месяц	t	yt	cos t	sint	y*cost	y*sint	yt (расчет)
Январь	0	27,3	1,0000	0,0000	27,300	0,000	30,14
Февраль	π/6	28	0,8660	0,5000	24,249	14,000	29,53
Март	π/3	31,2	0,5000	0,8660	15,600	27,020	29,20
Апрель	π/2	30,1	0,0000	1,0000	0,000	30,100	29,22
Май	2π/3	29,2	-0,5000	0,8660	-14,600	25,288	29,59
Июнь	5π/6	30	-0,8660	0,5000	-25,981	15,000	30,21
Июль	π	30,1	-1,0000	0,0000	-30,100	0,000	30,91
Август	7π/6	32	-0,8660	-0,5000	-27,713	-16,000	31,52
Сентябрь	4π/3	31,4	-0,5000	-0,8660	-15,700	-27,193	31,85
Октябрь	3π/2	32,3	0,0000	-1,0000	0,000	-32,300	31,83
Ноябрь	5π/3	31,2	0,5000	-0,8660	15,600	-27,020	31,46
Декабрь	11π/6	33,5	0,8660	-0,5000	29,012	-16,750	30,84
		366,3			-2,333	-7,855	366,30

На основе сумм, рассчитанных в последней строке таблицы, рассчитываются параметры a₀ = 30,53; a₁ =-0,39; a₂=-1,31. В последнем столбце находятся расчетные значения исходного ряда.

Рассмотрим еще один пример моделирования циклических колебаний.

Пример. Предполагая наличие циклических колебаний, проведем гармонический анализ динамики отклонений от линейного тренда данных о ставках по кредитам за 12 месяцев (у_t — ŷ_t) .

Исходные данные для расчета приведены в таблице 9.7.

Рассчитаем первую гармонику. Для определения значений синусов и косинусов необходимо использовать таблицу вычисления значений по ряду Фурье.

Исходя из определенных значений синусов и косинусов для каждого уровня ряда динамики (графы 4 и 5 таблицы 4.3) рассчитаем параметры а₀, a₁ и b₁:

a₀ = 0; a₁ = 125,6 / 6 = 20,9; b₁= - 63,5 / 6 = - 10,6.

Таблица 9.7.