2Й учебный вопрос. Выявление сезонной компоненты и построение аддитивной и мультипликативной модели временного ряда.

Следует иметь в виду, что с математической точки зрения между циклическими и сезонными колебаниями нет особой разницы. Различие лишь в содержательном смысле и длине цикла (периода колебаний). Сезонные колебания – это внутригодичные колебания, с длиной цикла меньше года, т.е. ежемесячные или ежеквартальные колебания. Циклические колебания как правило имеют длину цикла более года (например, цикл инвестиционной активности или колебания конъюнктуры рынка).

Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Моделирование циклических колебаний в целом осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний, поэтому мы рассмотрим здесь только методы моделирования последних. Простейший подход — расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда сводится к расчету значений T, S, E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2. Расчет значений сезонной компоненты S;

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (T+E) в аддитивной или (T*E) в мультипликативной модели;

4. Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или (T*E) и расчет значений T c использованием полученного уравнения тренда;

5. Расчет полученных по модели значений (T+S) или (T*S)

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок

Рассмотрим построение аддитивной модели ряда на том же примере, который был рассмотрен при расчете коэффициентов автокорреляции.

В таблице 9.3. приведен расчет оценок сезонной компоненты.

Таблица 9.3

Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

t	yt	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя	Центриров. скольз. средняя	Оценка сезонной компоненты
1	6	-	-	-
2	4,4	24,4	6,1	-
3	5	25,6	6,4	6,25	-1,250
4	9	26,0	6,5	6,45	2,550
5	7,2	27,0	6,75	6,625	0,575
6	4,8	28,0	7	6,875	-2,075
7	6	28,8	7,2	7,1	-1,100
8	10	29,6	7,4	7,3	2,700
9	8	30,0	7,5	7,45	0,550
10	5,6	31,0	7,75	7,625	-2,025
11	6,4	32,0	8	7,875	-1,475
12	11	33,0	8,25	8,125	2,875
13	9	33,6	8,4	8,325	0,675
14	6,6	33,4	8,35	8,375	-1,775
15	7	24,4	-	-	-
16	10,8	17,8	-	-	-

При построении таблицы вначале (в графе 3) были определены условные годовые объемы потребления электроэнергии (суммируя данные за 4 квартала). Затем в графе 4 построенный ряд был выравнен по 4хчленной скользящей средней. Затем в графе 5 были построены центрированные скользящие средние (на основе средних из двух соседних значений выравненного ряда в графе 4). В графе 6 были рассчитаны оценки сезонной компоненты (как разность данных граф 2 и 5).

Далее построим вспомогательную таблицу для расчета окончательных значений сезонной компоненты (табл. 9.4)

Таблица 9.4.

Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатели	Год	№ квартала
		I	II	III	IV
	1	-	-	-1,250	2,550
	2	0,575	-2,075	-1,100	2,700
	3	0,550	-2,025	-1,475	2,875
	4	0,675	-1,775	-	-
Итого за i-тый квартал (за все годы)		1,800	-5,875	-3,825	8,125
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала		0,600	-1,958	-1,275	2,708
Скорректированная сезонная компонента (St)		0,581	-1,977	-1,294	2,690
Корректировочный коэффициент		0,01875	0,01875	0,01875	0,01875

В таблице 9.4 вначале находятся средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты, а затем корректируются с учетом того, что сумма значений сезонной компоненты за четыре квартала должна быть равна нулю.

Корректировочный коэффициент рассчитывается как сумма средних оценок (0,6- 1,958- 1,275+2,708= 0,075), деленная на 4. Скорректированные значения сезонной компоненты рассчитываются как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k.

Затем в таблице 9.5 элиминируется влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получаем величины T+E= Y-S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержать только тенденцию и случайную компоненту. Затем производится выравнивание построенного ряда с помощью линейного тренда. К выравненному ряду снова добавляются значения сезонной компоненты.

Выявление сезонной компоненты в мультипликативной модели выполняется аналогично. Разница лишь в том, что скорректированные значения сезонной компоненты умножаются на корректировочный коэффициент (а не находятся в виде разности).

Таблица 9.5.

Расчет выравненных значений T и случайных ошибок E в аддитивной модели

t	yt	St	T+E= yt-St	T	T+S	E=yt-(T+S)	E2
1	6	0,581	5,419	5,940	6,521	-0,521	0,271
2	4,4	-1,977	6,377	6,110	4,133	0,267	0,072
3	5	-1,294	6,294	6,280	4,986	0,014	0,000
4	9	2,690	6,310	6,450	9,139	-0,139	0,019
5	7,2	0,581	6,619	6,620	7,201	-0,001	0,000
6	4,8	-1,977	6,777	6,790	4,813	-0,013	0,000
7	6	-1,294	7,294	6,960	5,666	0,334	0,111
8	10	2,690	7,310	7,130	9,820	0,180	0,033
9	8	0,581	7,419	7,470	8,051	-0,051	0,003
10	5,6	-1,977	7,577	7,640	5,663	-0,063	0,004
11	6,4	-1,294	7,694	7,810	6,516	-0,116	0,014
12	11	2,690	8,310	7,980	10,670	0,330	0,109
13	9	0,581	8,419	8,150	8,732	0,268	0,072
14	6,6	-1,977	8,577	8,320	6,343	0,257	0,066
15	7	-1,294	8,294	8,490	7,197	-0,197	0,039
16	10,8	2,690	8,110	8,660	11,350	-0,550	0,303