2.2. Линеаризация второго класса функций (нелинейных по оцениваемым параметрам).

Второй класс функций приводится к линейному виду путём специальных процедур линеаризации. Наиболее часто используют логарифмирование.

Однако эта процедура применима не ко всем функциям.

Существуют нелинейные уравнения, которые не могут быть приведены к линейному виду путем логарифмирования.

Поэтому в эконометрике принято делить уравнения регрессии, нелинейные по их параметрам, на два типа:

1) Нелинейные, но внутренне линейные, уравнения;

2) Нелинейные, внутренне нелинейные, уравнения.

Внутренне линейные уравнения достаточно легко приводятся к линейному виду путём логарифмирования и дополнительной замены переменных.

Внутренне не линейные уравнения принципиально не могут быть приведены к линейному виду. К таким уравнениям относятся, например:

y = a (1 – 1/ (1 – x)^b

или

y = a + bx^c

Рассмотрим способы линеаризации и расчета параметров для внутренне линейных моделей.

2.2.1. Система нормальных уравнений для уравнения степенной функции

Например, рассмотрим уравнение степенной функции:

y=a₀x^a¹

Логарифмируя данное уравнение, получаем:

ln y = ln a₀ + a₁ ln x

Вводим новые переменные:

y₁=ln y

x₁= ln x

Заменяя переменные, получаем следующее уравнение:

y₁= ln a₀ + a₁ x₁

Для такого уравнения легко составить систему нормальных уравнений:

nlna₀+a₁∑ x₁=∑ y₁

lna₀∑ x₁+a₁∑( x₁)² =∑x₁ y₁

Повторно заменяя переменные, получаем систему:

nlna₀+a₁∑ln x =∑lny

lna₀∑ln x +a₁∑(lnx)² =∑ lnx×lny (6.5) Решив систему (6.5), мы найдем параметры уравнения степенной функции. Следует обратить внимание на то, что в системе (6.5) неизвестными являются lna₀ и a₁, но a₀ легко найти путем процедуры потенцирования : a₀ = e^ln^a⁰, т.е. возводим число «e» в степень lna₀.

2.2.2. Система нормальных уравнений для модифицированной гиперболы

Рассмотрим уравнение вида:

y=1/( a₀ + a₁ x) (6.7)

Это так называемая обратная модель, являющаяся разновидностью гиперболы. Но если в равносторонней гиперболе (6.3) мы заменяли независимую переменную 1/x = z , то для линеаризации уравнения (6.7) преобразованиям придется подвергнуть зависимую переменную y

Уравнение (6.7) можно переписать как:

1/y= a₀ + a₁ x (6.8)

Если в уравнении (6.8) заменить 1/y = y₁, получаем

y₁=a₀ +a₁x, т.е. обычное уравнение парной линейной регрессии с новыми переменными, для которого система нормальных уравнений имеет вид:

na₀+a₁Σx=Σy₁

a₀Σ x +a₂Σx²=Σy₁x (6.9)

Выполняя затем обратную замену переменных в системе нормальных уравнений (6.9), получаем систему для расчета параметров уравнения y=1/( a₀ + a₁ x).