15. Определение осовных алгебраических структур

Основные типы алгебраических структур.

 Пусть  и  два произвольных непустых множества. Декартовым произведением  этих множеств называется множество всевозможных упорядоченных пар вида , где . При этом две пары  и , где , считаются равными, если . Если , тогда множество  называется декартовым квадратом множества .

 Пусть . Внутренним законом композиции на множестве   называется произвольное отображение декартова квадрата во множество . Внутренний закон композиции на множестве  каждой паре  элементов множества  ставит в соответствие определенный элемент множества , который принято обозначать в виде сочетания трёх символов: элементов  и некоторого знака их соединяющего и одновременно позволяющего отличать друг от друга различные законы композиции, например,

 

,

  и т.д.

 Простейшими примерами внутренних законов композиции на множестве  являются арифметические операции сложения, вычитания и умножения действительных чисел, которые паре действительных чисел  ставят в соответствие их сумму, разность и произведение,

.

  Введенное выше поэлементное сложение матриц является внутренним законом композиции на множестве , а умножение матриц – внутренним законом композиции на множестве .

 Пусть . Внешним законом композиции на множестве  над множеством  называется произвольное отображение множества  во множество .

Примером внешнего закона композиции на множестве матриц  над множеством действительных чисел  является операция умножения матрицы на число,

.

 Задание на некотором множестве одного или нескольких законов композиции, внутренних или (и) внешних, обладающих некоторыми стандартными свойствами, определяет на этом множестве различные алгебраические структуры (группы, поля, кольца, линейного пространства, алгебры и т.д.).

 Если внутренний закон композиции на множестве , записываемый как умножение, обладает свойствами:

 1)  (ассоциативность)

для любых  из ;

 2) в  существует такой элемент , что

  (существование единицы)

для каждого  из ;

 3) для каждого элемента  из  найдется такой элемент , что

  (обратимость)

тогда говорят, что закон композиции определяет на  структуру группы. Элемент   называется при этом единицей группы, а элемент  из 3) – обратным к  элементом и обозначается .

 Если наряду со свойствами 1) – 3) выполняется свойство

 4)  (коммутативность)

для любых  из , такая группа называется абелевой. Свойства 1) – 3) называются аксиомами группы, а свойства 1) – 4) аксиомами абелевой группы. В абелевой группе закон композиции записывается обычно как сложение, в связи с чем её аксиомы принимают вид

 1’)  ;

 2’) в  существует элемент  такой, что

  ;

 3’) для любого  из  найдется элемент , такой, что

  ;

 4’)  .

Элемент  называется нулем абелевой группы, а элемент   из аксиомы 3’) – противоположным к элементу  и обозначается .

Вычислить интеграл  .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.