1. Понятие математической модели, экономико-математической модели.

Модель – объект произвольн природы матер-ой, мыслимой или знаковой, к-ый замещает оригинал и отражает наиболее важное для исследования св-ва объекта оригинала. По осн. классиф-ии к мат моделям отн-ся идеальным формализованным знаковым моделям и м. созд-ся из мате-их объектов любой природы. Мат модель – описание св-в объекта и протекающих в нем пр-сов существенных для данного иссл-ия функц-ми и логическими завис-ми, сист-ми алгебраич-х диф-ых конечно-разностных уравнений и графовыми стр-ми. Для ЭММ хар-ой особ-ью явл-ся то, что 1)они стоятся для массовых явл-й, 2) д. вкл-ть человеч-1 фактор, 3) большинство ЭММ не м.б. проверены непоср-но.

3..КЛАССИФИКАЦИЯ типов ЭММ.

ЭММ подразделяются на 3 вида: 1. Статистич-ие, 2. Балансовые, 3. Оптимизационные

Статистич-ие модели- это м-ли, в кот. описываются корреляционно- регрессионные зависимости рез-та пр-ва от 1 или нескольких факторов. Эти м-ли широко использ-ся для построения производственных ф-ций, а также при анализе эк-ких систем.

Балансовые модели предст-ют собой систему балансового пр-ва и распределения продукции и запис-ся в форме квадратных матриц. Балансовые модели служат для установления пропорций и взаимосвязей при планировании разл. отраслей нархоз-ва.

Оптимизационные модели представляют систему матем. уравнений (линейных и нелин-х), подчиненных определенной целевой ф-ции и служащих для отыскания наилучших решений конкретной эк-кой задачи.

Классификация ЭММ может быть различной и условной. Это зависит от того, на базе каких признаков строится модель.

По функц-му признаку модели подразделены на модели: м-ли планирования; м-ли бух. учета; модели экономического анализа; модели информационных процессов и т.д.Оптимизац-ые модели могут носить детерминированный и стохастический х-р. В детерм-х моделях рез-т решения однозначно зависит от входных данных. В стохаст-х (вероятностных) опред. набор входных данных м. дать, а м. и не дать соотв-го рез-та

4.классиф.ЭМ методов.

ЭММетод- обобщенное название комплекса эк-хи матем-х дисциплин.

Выделяют разделы:

1.эк-я кибернетика-комплекс дисциплин, вып-х системный анализ эк-ки;

2.мат.статистика-вкл.метод дисперсного,корреляц.,регрессион. И факторного анализов,

3.эконометрика-исп. Методы теории пр-ых ф-ций, методы регионального и пространственного анализа.

4.мет.принятия оптимальный решений-вкл.все методы мат.програм-ия

5.Методы экспертных решений

5.Осн этапы построен Эмм.

Моделирование-процесс построен модели.

1.постановочный этап:выбор цели,задачи мод-ия,показателей,факторов.

2.априорный:форманизации инфы,выбор переменных.

3.параметризация:построен модели,опред.тип и форму модели,метод построения.

4.информац-й: сбор необх.инфы для проверки качества построения модели или для вып-ия управленч.решений.

5.индентификации:расчёты по построенной модели

6.верификации: проверка адекватности модели, т е её соотв. Объекту-оригиналу по тем паказателям,кот выбраны для моделирования.

7.интерпритация: принятие управленч решений или прогнозирование

19.Особенности и типы регрессионных момоделей

В Р.А. расм. связи м-у 1-м ф-ом, наз. зависимыми и несколькими другими наз. независимыми ф-ми. Эта связь представлена в форме мат. модели – уравнение связанное зависимыми переменными, отвечающ. ф-ру и одну или несколько независ. переменных Х1,Х2...Хm. Эти переменные соотв. независимым факторам. Построение модели осуществляется на основе набора эксперементальных данных, наз. выборкой парных или множественных значений. При орг-ии выборки и её обработки использ. методы мат. стат., поэтому такие модели наз. статистическими или эконометрическими. Переменные Х,Х1,Х2...Хm – экзогенные, У – эндогенные. В зависимости от формы, кот. имеет модель различают линейную и нелинейную регрессию. В зависимости от кол-ва переменных различ. парную и множественную регрессию. При построении модели необходимо потребовать, чтобы переменные Х1,Х2...Хm были контролируемыми и управляемыми.

20.Модель парной регрессии, подбор формы модели по диограмме рассеивания, теоретическая модель

Расм. зав-ть м-у 2-мя ф-ми и предположим, что собрана выборка парных значений (х1,у1), (х2,у2)...(Хn,Уn), n- объем выборки. Если объем выборки невелик, то она м.б. представлена графически:(график).

Если n-велико, одному и тому же знач. Хi может соотв. набор значений у, кот должен иметь некоторое распределение, плотность кот. представлена на рис. со ср. знач. уi, с дисперсией σ. Полученый набор точек носит название поле корелляции или диаграммы рассеивания. Будем считать, что точки на диограмме группируются вокруг некот. прямой,т.е. м-у ф-ми Х,У сущ. линейная завис-ть, кот м.б. представлена моделью:

У=α0+α1Х+ε

α0, - параметры модели

ε-случ. величина, кот. учитывает воздействие др. ф-ов и погрешности измерений.

По данным выборки мы можем построить выборочную модель

у^= а0+а1х

а0,а1 – коэффициенты модели

а0 – оценка α0 по выборке

а1 - оценка α1 по выборке

Нанесём на поле корелляции 2 прямых. а1 – угловой коэффициент наклона, кот. показывает на сколько ед-ц измен. знач. ф-ра Х на 1 ед. своего знач.а0 – показывает расположение прямой

21.Оценка параметров модели парной линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов

Наилучшие оценки а0,а1,т.е. оценки, обладающие 3-мя требованиями:эффективностью, состоятельностью и несмещённостью. М.б. получены min-ей суммы квадратов отклонения.

у^i – предсказанное по модели значение

у^i=а0+а1хi; еi=уi- у^i;

S(a0,a1)=Σei² =Σ(yi- у^i)²

Если считать оценки параметров неизвестными, то функция д.б. min-на S(a0,a1)→min

Необходимое условие минимизации ф-ии яв-ся приравнивание к 0 её частной производной

ðS/ðа0=0

ðS/ðа1=0

S(a0,a1)=Σ(yi-a0-a1xi)²

Преобразовав уравнение мы получим систему линейных ур-ийотносительно коэффициентов а0,а1

Разделив каждое уравнение на n мы получим:

Кот.наз системой нормальных ур-ий решив её по формулам Крамера, мы получим формулу для нахождения оценок коэффициентов

Наз. оценками по методу наименьших квадратов. Для того, чтобы они были наилучшими необходимо выполнение условий Гауса-Маркова:

1) отклонение еi – имеет нормальное распределение , мат. ожидание М(еi)=0;D(ei)=σ²

2) имеет место условие постоянства дисперсии σ-const, для всех наблюд. i=1,n

3)отклонение не коррелируют др. с др. r_eiej=0; i≠j

4)Х – неизвестная переменная

22.Проверка общего качества уравнения парной линейной регрессии:построение таблицы дисперсионного анализа, вычисление коэффициента детерминации и проверка его значимости, стандартная ошибка уравнения регрессии

Дисперсионный анализ модели заключается в оценивании вклада в дисперсию и зависимые переменные, независимые переменные и прочих неучтённых ф-ов. Справедливо основное рав-во дисперсионного анализа SS_T=SS_R+SS_Е

Σ(yi-y^-)²=Σ(y^i-y^-)²+Σ(yi-y^i)²

Этим суммам приписываются числа, кот. наз. степенями свободы, соотв. инф-ии получ-ся из n-неизвестных величин

SS_T→n-1 – соотв. 1-ой степени Σ=ν-df

SS_R→1 – 2-я степень Σ=ν1

SS_E→n-2 – 3-я степень Σ=ν2

Отношение суммы квадратов степени свободы носит назв. ср. квадрат

Таблица дисперсионного анализа представлена в следующем виде:

Источник	SS	df	MS	F	P
модель	SSR	1	MSR=SSR//1	MSE/MSR	P
Ошибка	SSE	n-2	SSE/(n-2)
итог	SST	n-1

Из табл. дисперсионного анализа вычисляем коэффициент детерминации – коэф., показ. долю разброса знач. относит. ср. , обусловл. регрессией в общем разбросе знач. относительно среднего

R²=SS_R/SS_T=-SS_E/SS_T+1; 0≤R²≤1

Чем ближе R² к 1, тем точнее модель описывает разброс значений. Чем ближе он к 0, тем хуже опис. выборочные данные модели. Для проверки значимости коэф. детерминации использ. критерий Фишера:

Н₀R²=0; Н₁R²≠0

Вычислим наблюдаемое значение критерия F_набл=MS_Е/MS_R

Критическое значение

F_крит=F(α,ν1=1,ν2=n-2)

Вероятность отвергнуть ошибку 1-го рода,т.е. Отвергнуть Н₀при её правильности .

Во всех пакетах прикладного стат. анализа Р соотв. ур-ию значимости коэф. детерминации.

Чтобы сделать стат. выводы о значимости коэф. модели необх. расчит. остаточную дисперсию: S_e²=Σ(yi-y^i)²|(n-2) = Σei²/(n-2)

Стандартная ошибка:

S_e=

Критерий стъюдента: S_{a0 =} *S_e

23. Оценка значимости коэффициентов уравнения парной линейной регрессии, построение доверительных интервалов для коэффициентов

Для проверки значимости коэф. проверяемые гипотезы имеют вид: Н₀:а0=0; Н₀:а1=0 Тогда наблюдаемое значение критериев приобретает вид: Ta0=a0^/Sa0;

Ta1=a1^/Sa1; - дроби Стъюдента

Гипотезы проверяются одновременно. Для значимости модели очевидно, что Н0 в обоих случаях д.б. отвергнута. Если приним. гипотиза H0:а0=0, то это может означать, что ур-ие модели проходит через начало координат и модель м.б. использовать в дальнейшем.(график)

Если принимается H0:а1=0, то модель в целом счит. незначимой и не м.б. использована для дальнейших исследований

Вместе с проверкой значимости коэф. выписываются доверительные интервалы:

а^0-Sa0T(α,n-2)<a0<a^0+Sa0T(α,n-2)

a^1-Sa1T(α,n-2)<a0<a^1+Sa1T(α,n-2)

24. Доверительный интервал для прямой регрессии. Прогнозирование в парных регрессионных моделях. Ошибка прогноза. Доверительный интервал прогноза

Адекватная модель со знач.коэф. м.б. использована для прогнозирования. Если Хn нах-ся внутри интервала измен. Х, то прогнозирование наз. интерполяция. Если за пределами измен. Х, то экстраполяция

В том и др. случае у опред-ся:

у_n^=a^0+a^1x_n, n – прогноз

Для прогноза вычисляется ошибка прогноза

Syn=Se

Доверительный интервал вычисляется по общим принципам

yn^-Syn^T(α,n-2)<yn<yn^+ Syn^T(α,n-2)

По окончании исследования строят доверительный интервал по всей длине регрессии

у^+(-) *Sy^

Sy^=Se*1/n +

25. Условия Гауса-Маркова. Теорема Гауса-Маркова

Теорема Гауса-Маркова:

У=α0+α1Х1+α2Х2+...+αm+Xm+ε

Теорема Гаусса—Маркова гласит:

Если данные обладают следующими свойствами:

1)Модель правильно специфицирована (постоянная эластичность рассматривается как постоянная, или нет лишних переменных, или есть все важные переменные),

2)rang(X)=k

3)E(εi)=0

4)гомоскедастичность – условие независимости дисперсии от номера наблюдения.

— то в этих условиях оценки метода наименьших квадратов являются лучшими в классе линейных несмещенных оценок

26.линейная модель множест-й регрессии.Классич. МНК для модели мноджеств регрессии.

Линейн.модельмнож. регрессии:

,

где  — параметры ур.регрессии, подлежащие оценке, — случайная ошибка.

По выборке ограниченного объема оценивается выборочное ур регрессии:

,

где — оценки параметров .

Данные выборки можно представить в матричной форме:

 — вектор значений зависимой переменной размерности ;  — знач в наблюдении ;  

— матрица значений независ переменных размерности ,  — значения переменных в наблюдении .

 — вектор оценок параметров модели размерности .

Для оценки параметров модели исп-ют МНК:строится система из линейного ур с неизвестным, наз=ая сист.нормальных ур. Кол-во ур.=кол-ву неизвестных переменных, поэтому решение системы можно найти, например, с помощью метода Крамера.

Для двухфакторной модели данная система будет иметь вид:

Формулы Крамера

где — определитель системы, — частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы столбцом свободных членов.

27.св-ва оценок МНК для модели множеств.регресии и показатели качества подбора регрессии:коэф множеств.кореляции,коэф.частной корреляции ,коэф множествен детерминации.

Качество построенной модели в целом оценивает коэф множ детер , кот измер.долю дисперсии, совместно объясненной независимыми переменными, (6)

общая дисперсия результативного признака; — остаточная дисперсия. Квадратный корень из коэф.множ.детер.-коэф.множ корреляции.

Границы изменения коэф множ корреляции от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. При линей. Завис-ти коэф множ коррел.можно определить через матрицу парных коэф корреляции:

,определитель матрицы парных коэф. Кор: Определитель матрицы межфакторной корреляции:

Частные коэф кор (для лин.связей)- х-ют тесноту связи между результатом и соотв фактором при устранении влияния др факторов, включенных в ур регрессии.При двух факторах ; .

28.мультиколлинеарность факторов.признаки и способы устранния мультикол-и.

Мультиколлинеорность-1.линейн.связь между более чем двумя экзоген.перемен;2.корректированность 2х или неск.экзоген.перемен.для проверки наличия мул-ти исп-ют матрицу коэв парной корреляц.

∆r=

Если то из модели исключ тот ф-р,у кот меньше модуль или .если есть мулт-ть,то вычисл. ∆r11. чем он ближе к 0,тем сильнее мульт-ть факторови наоборот.

Устранени м-ти:

1.измен объема выборки

2.увелич вариац факторов R=Ximax-Ximin

3.исключить из модели перемен,имеющ.наиболее высок коэф межфакторной корреляции.

29.гомо- и гетероскедастичность.Графич.метод обнаружения гетероскедастичности.причины и её последствия.

Гомоскед-ть- услов независ дисперсии от номера наблюд. Усл,обеспеч. Гомоскед:

1.ср.знач случайн отклон в кажд.наблюд=0.

2.распред.отклон одинак для всех наблюд.

Гетероскед-нарушение этого усл.причина Ге: 1.неоднородн.ислед.объектов,

2.зависимость от масштаба,

3.высок темп измн отдел экзогн перемен.

Последстия-увелич.дисперс оценок,сниж их точности,все выводы получ по фишеруи по стьюд.статистиком будут смещёнными. Обнаруж Ге по график. остатков

В случ а-остатки попад.в узку. Полосу,ширина кот сущ-но меньше размаха вариации для у с крышкой,т е нет ГЕ.б-ГЕ с ростом переменной хi растёт дисперсия.в-ГЕ,кот вызыв-ся тем,что не была учтена ещё 1 линйн.независ перемен.г.-ГЕ,вызванная неучётом квадратичной,независ перемен,или неправильным выбором формы.

30.нелинейная парная регрессия.нелинейность относительно объясняющих переменных,Типы моделей и их использование.

1.Степенные или полинолиальные модели:

Y=a₀+ a₁*X+ a₂*X²+ξ,

Y=a₀+ a₁*X+ a₂*X²+a3*X³+ξ,

Y=a₀+ a₁*X+…+ a_m*X^m+ξ,

Эти модели м.исп-ся для моделир.завис-ти обяз.издержек У от объёма выпуска Х.Чаще исп. Полин. Модели,кот сводят к линейн моделям множ.регрес с пом змен:Х=Х₁с волной.,..Х^м=Х_мс волной.далее исп. Методику оценок пар-ов и проверки качества модели для мнодеств регресс модели.

2.Обратная или гиперболическая модель:

Y= a₀+ a₁/X+ξ,

она мб исп-на для модерил связи удельн расход сырья,матер,топлива от объема выпуск.пр-ии(Х).Обращ товары-У,величина товарооботота-Х.к линейн виду эта модель м.б приведена заменой:1/Х=Хсволной.

3.полулогарифмические модели:

ln Y= a₀+ a₁*X+ξ, :Y= a₀+ a₁*lnX+ξ,

эти модели исп.при моделир темпов роста или прироста эконом показат.напр:моделир прироста объёма выпуска от%го увелич затрат ресурса.Для модел.темпов роста инфл. От объёма денеж.массы.Коэф a_{1 выраж.измер У из=за единичн относит прироста(Х).} a_{1=относит} измен/абсол.измен.. м.б произведена замена: ln Y= Yс волной. ln Х=Х с волной.

31.нелинейная парная регрессия.нелинейность по параметрам.линеризация.типы моделей и их исп-ие. Сводятся к моделям 1 класса(регр.нелин относ.объясняющих переменных)путём линеризации.

1. степенная модель:

Y=a₀*X^а1( +ξ) ( *ξ), с пом этих моделей моделир завис.спроса на благо от его цены,от дохода.Завис.объёма выпуска от ресурсов.Для опред оценок коэф. Измен модели к лин.испол.логариф.модели. и поэтому эти модели наз-ют двойными логарифмическими: ln Y= Yс волной. ln Х=Х с волной. Коэф.эластичности:a₁=(dY/Y)/(dX/X). Поэтому модель эту ещё наз-ют модель с постоянной эластичностью.