
- •Понятие математической модели, экономико-математической модели.
- •5.Методы экспертных решений
- •2.Экспоненциальная модель:
- •43. Основные показатели моб и их экономический смысл
- •44.Экономико-математическая модель моб
- •45. Коэф-ты прямых, полных и косвенных материальных затрат, их свойства
- •46. Применение балансовых моделей в задачах менеджмента: прогнозирование затрат ресурсов, объема и отраслевой стр-ры валового выпуска, прогнозирование затрат труда.
- •47. Модель прогнозирования отраслевых цен в системе моб
- •48. Понятие производственной функции (пф) одной и нескольких переменных
- •49. Производственная ф-ция Кобба-Дугласа
- •51. Предельные и средние значения пф. Коэффициенты эластичности.
- •52. Пф ces с постоянной эластичностью замещения факторов.
- •53. Использование пф в эк-ом анализе.
Понятие математической модели, экономико-математической модели.
Модель – объект произвольн природы матер-ой, мыслимой или знаковой, к-ый замещает оригинал и отражает наиболее важное для исследования св-ва объекта оригинала. По осн. классиф-ии к мат моделям отн-ся идеальным формализованным знаковым моделям и м. созд-ся из мате-их объектов любой природы. Мат модель – описание св-в объекта и протекающих в нем пр-сов существенных для данного иссл-ия функц-ми и логическими завис-ми, сист-ми алгебраич-х диф-ых конечно-разностных уравнений и графовыми стр-ми. Для ЭММ хар-ой особ-ью явл-ся то, что 1)они стоятся для массовых явл-й, 2) д. вкл-ть человеч-1 фактор, 3) большинство ЭММ не м.б. проверены непоср-но.
3..КЛАССИФИКАЦИЯ типов ЭММ.
ЭММ подразделяются на 3 вида: 1. Статистич-ие, 2. Балансовые, 3. Оптимизационные
Статистич-ие модели- это м-ли, в кот. описываются корреляционно- регрессионные зависимости рез-та пр-ва от 1 или нескольких факторов. Эти м-ли широко использ-ся для построения производственных ф-ций, а также при анализе эк-ких систем.
Балансовые модели предст-ют собой систему балансового пр-ва и распределения продукции и запис-ся в форме квадратных матриц. Балансовые модели служат для установления пропорций и взаимосвязей при планировании разл. отраслей нархоз-ва.
Оптимизационные модели представляют систему матем. уравнений (линейных и нелин-х), подчиненных определенной целевой ф-ции и служащих для отыскания наилучших решений конкретной эк-кой задачи.
Классификация ЭММ может быть различной и условной. Это зависит от того, на базе каких признаков строится модель.
По функц-му признаку модели подразделены на модели: м-ли планирования; м-ли бух. учета; модели экономического анализа; модели информационных процессов и т.д.Оптимизац-ые модели могут носить детерминированный и стохастический х-р. В детерм-х моделях рез-т решения однозначно зависит от входных данных. В стохаст-х (вероятностных) опред. набор входных данных м. дать, а м. и не дать соотв-го рез-та
4.классиф.ЭМ методов.
ЭММетод- обобщенное название комплекса эк-хи матем-х дисциплин.
Выделяют разделы:
1.эк-я кибернетика-комплекс дисциплин, вып-х системный анализ эк-ки;
2.мат.статистика-вкл.метод дисперсного,корреляц.,регрессион. И факторного анализов,
3.эконометрика-исп. Методы теории пр-ых ф-ций, методы регионального и пространственного анализа.
4.мет.принятия оптимальный решений-вкл.все методы мат.програм-ия
5.Методы экспертных решений
5.Осн этапы построен Эмм.
Моделирование-процесс построен модели.
1.постановочный этап:выбор цели,задачи мод-ия,показателей,факторов.
2.априорный:форманизации инфы,выбор переменных.
3.параметризация:построен модели,опред.тип и форму модели,метод построения.
4.информац-й: сбор необх.инфы для проверки качества построения модели или для вып-ия управленч.решений.
5.индентификации:расчёты по построенной модели
6.верификации: проверка адекватности модели, т е её соотв. Объекту-оригиналу по тем паказателям,кот выбраны для моделирования.
7.интерпритация: принятие управленч решений или прогнозирование
19.Особенности и типы регрессионных момоделей
В Р.А. расм. связи м-у 1-м ф-ом, наз. зависимыми и несколькими другими наз. независимыми ф-ми. Эта связь представлена в форме мат. модели – уравнение связанное зависимыми переменными, отвечающ. ф-ру и одну или несколько независ. переменных Х1,Х2...Хm. Эти переменные соотв. независимым факторам. Построение модели осуществляется на основе набора эксперементальных данных, наз. выборкой парных или множественных значений. При орг-ии выборки и её обработки использ. методы мат. стат., поэтому такие модели наз. статистическими или эконометрическими. Переменные Х,Х1,Х2...Хm – экзогенные, У – эндогенные. В зависимости от формы, кот. имеет модель различают линейную и нелинейную регрессию. В зависимости от кол-ва переменных различ. парную и множественную регрессию. При построении модели необходимо потребовать, чтобы переменные Х1,Х2...Хm были контролируемыми и управляемыми.
20.Модель парной регрессии, подбор формы модели по диограмме рассеивания, теоретическая модель
Расм. зав-ть м-у 2-мя ф-ми и предположим, что собрана выборка парных значений (х1,у1), (х2,у2)...(Хn,Уn), n- объем выборки. Если объем выборки невелик, то она м.б. представлена графически:(график).
Если n-велико, одному и тому же знач. Хi может соотв. набор значений у, кот должен иметь некоторое распределение, плотность кот. представлена на рис. со ср. знач. уi, с дисперсией σ. Полученый набор точек носит название поле корелляции или диаграммы рассеивания. Будем считать, что точки на диограмме группируются вокруг некот. прямой,т.е. м-у ф-ми Х,У сущ. линейная завис-ть, кот м.б. представлена моделью:
У=α0+α1Х+ε
α0,
-
параметры модели
ε-случ. величина, кот. учитывает воздействие др. ф-ов и погрешности измерений.
По данным выборки мы можем построить выборочную модель
у^= а0+а1х
а0,а1 – коэффициенты модели
а0 – оценка α0 по выборке
а1 - оценка α1 по выборке
Нанесём на поле корелляции 2 прямых. а1 – угловой коэффициент наклона, кот. показывает на сколько ед-ц измен. знач. ф-ра Х на 1 ед. своего знач.а0 – показывает расположение прямой
21.Оценка параметров модели парной линейной регрессии с помощью метода наименьших квадратов
Наилучшие оценки а0,а1,т.е. оценки, обладающие 3-мя требованиями:эффективностью, состоятельностью и несмещённостью. М.б. получены min-ей суммы квадратов отклонения.
у^i – предсказанное по модели значение
у^i=а0+а1хi; еi=уi- у^i;
S(a0,a1)=Σei2 =Σ(yi- у^i)2
Если считать оценки параметров неизвестными, то функция д.б. min-на S(a0,a1)→min
Необходимое условие минимизации ф-ии яв-ся приравнивание к 0 её частной производной
ðS/ðа0=0
ðS/ðа1=0
S(a0,a1)=Σ(yi-a0-a1xi)2
Преобразовав уравнение мы получим систему линейных ур-ийотносительно коэффициентов а0,а1
Разделив каждое уравнение на n мы получим:
Кот.наз
системой нормальных ур-ий решив её по
формулам Крамера, мы получим формулу
для нахождения оценок коэффициентов
Наз. оценками по методу наименьших квадратов. Для того, чтобы они были наилучшими необходимо выполнение условий Гауса-Маркова:
1) отклонение еi – имеет нормальное распределение , мат. ожидание М(еi)=0;D(ei)=σ2
2) имеет место условие постоянства дисперсии σ-const, для всех наблюд. i=1,n
3)отклонение не коррелируют др. с др. reiej=0; i≠j
4)Х – неизвестная переменная
22.Проверка общего качества уравнения парной линейной регрессии:построение таблицы дисперсионного анализа, вычисление коэффициента детерминации и проверка его значимости, стандартная ошибка уравнения регрессии
Дисперсионный анализ модели заключается в оценивании вклада в дисперсию и зависимые переменные, независимые переменные и прочих неучтённых ф-ов. Справедливо основное рав-во дисперсионного анализа SST=SSR+SSЕ
Σ(yi-y-)2=Σ(y^i-y-)2+Σ(yi-y^i)2
Этим суммам приписываются числа, кот. наз. степенями свободы, соотв. инф-ии получ-ся из n-неизвестных величин
SST→n-1 – соотв. 1-ой степени Σ=ν-df
SSR→1 – 2-я степень Σ=ν1
SSE→n-2 – 3-я степень Σ=ν2
Отношение суммы квадратов степени свободы носит назв. ср. квадрат
Таблица дисперсионного анализа представлена в следующем виде:
Источник |
SS |
df |
MS |
F |
P |
модель |
SSR |
1 |
MSR=SSR//1 |
MSE/MSR |
P |
Ошибка |
SSE |
n-2 |
SSE/(n-2) |
||
итог |
SST |
n-1 |
|
|
|
Из табл. дисперсионного анализа вычисляем коэффициент детерминации – коэф., показ. долю разброса знач. относит. ср. , обусловл. регрессией в общем разбросе знач. относительно среднего
R2=SSR/SST=-SSE/SST+1; 0≤R2≤1
Чем ближе R2 к 1, тем точнее модель описывает разброс значений. Чем ближе он к 0, тем хуже опис. выборочные данные модели. Для проверки значимости коэф. детерминации использ. критерий Фишера:
Н0R2=0; Н1R2≠0
Вычислим наблюдаемое значение критерия Fнабл=MSЕ/MSR
Критическое значение
Fкрит=F(α,ν1=1,ν2=n-2)
Вероятность отвергнуть ошибку 1-го рода,т.е. Отвергнуть Н0при её правильности .
Во всех пакетах прикладного стат. анализа Р соотв. ур-ию значимости коэф. детерминации.
Чтобы сделать стат. выводы о значимости коэф. модели необх. расчит. остаточную дисперсию: Se2=Σ(yi-y^i)2|(n-2) = Σei2/(n-2)
Стандартная ошибка:
Se=
Критерий
стъюдента: Sa0
=
*Se
23. Оценка значимости коэффициентов уравнения парной линейной регрессии, построение доверительных интервалов для коэффициентов
Для проверки значимости коэф. проверяемые гипотезы имеют вид: Н0:а0=0; Н0:а1=0 Тогда наблюдаемое значение критериев приобретает вид: Ta0=a0^/Sa0;
Ta1=a1^/Sa1; - дроби Стъюдента
Гипотезы проверяются одновременно. Для значимости модели очевидно, что Н0 в обоих случаях д.б. отвергнута. Если приним. гипотиза H0:а0=0, то это может означать, что ур-ие модели проходит через начало координат и модель м.б. использовать в дальнейшем.(график)
Если принимается H0:а1=0, то модель в целом счит. незначимой и не м.б. использована для дальнейших исследований
Вместе с проверкой значимости коэф. выписываются доверительные интервалы:
а^0-Sa0T(α,n-2)<a0<a^0+Sa0T(α,n-2)
a^1-Sa1T(α,n-2)<a0<a^1+Sa1T(α,n-2)
24. Доверительный интервал для прямой регрессии. Прогнозирование в парных регрессионных моделях. Ошибка прогноза. Доверительный интервал прогноза
Адекватная модель со знач.коэф. м.б. использована для прогнозирования. Если Хn нах-ся внутри интервала измен. Х, то прогнозирование наз. интерполяция. Если за пределами измен. Х, то экстраполяция
В том и др. случае у опред-ся:
уn^=a^0+a^1xn, n – прогноз
Для прогноза вычисляется ошибка прогноза
Syn=Se
Доверительный интервал вычисляется по общим принципам
yn^-Syn^T(α,n-2)<yn<yn^+ Syn^T(α,n-2)
По окончании исследования строят доверительный интервал по всей длине регрессии
у^+(-)
*Sy^
Sy^=Se*1/n
+
25. Условия Гауса-Маркова. Теорема Гауса-Маркова
Теорема Гауса-Маркова:
У=α0+α1Х1+α2Х2+...+αm+Xm+ε
Теорема Гаусса—Маркова гласит:
Если данные обладают следующими свойствами:
1)Модель правильно специфицирована (постоянная эластичность рассматривается как постоянная, или нет лишних переменных, или есть все важные переменные),
2)rang(X)=k
3)E(εi)=0
4)гомоскедастичность – условие независимости дисперсии от номера наблюдения.
— то в этих условиях оценки метода наименьших квадратов являются лучшими в классе линейных несмещенных оценок
26.линейная модель множест-й регрессии.Классич. МНК для модели мноджеств регрессии.
Линейн.модельмнож. регрессии:
,
где
— параметры
ур.регрессии, подлежащие оценке,
— случайная ошибка.
По
выборке ограниченного объема
оценивается выборочное
ур регрессии:
,
где
— оценки параметров
.
Данные выборки можно представить в матричной форме:
— вектор
значений зависимой переменной
размерности
;
— знач
в наблюдении
;
— матрица
значений независ переменных размерности
,
— значения
переменных в наблюдении
.
— вектор
оценок параметров модели размерности
.
Для оценки параметров
модели исп-ют МНК:строится
система из
линейного ур с
неизвестным, наз=ая сист.нормальных
ур. Кол-во
ур.=кол-ву неизвестных переменных,
поэтому решение системы можно найти,
например, с помощью метода Крамера.
Для двухфакторной модели данная система будет иметь вид:
Формулы
Крамера
где
— определитель системы,
— частные определители, которые
получаются путем замены соответствующего
столбца матрицы определителя системы
столбцом свободных членов.
27.св-ва оценок МНК для модели множеств.регресии и показатели качества подбора регрессии:коэф множеств.кореляции,коэф.частной корреляции ,коэф множествен детерминации.
Качество
построенной модели в целом оценивает
коэф множ
детер
,
кот измер.долю дисперсии, совместно
объясненной независимыми переменными,
(6)
общая дисперсия
результативного признака;
— остаточная дисперсия.
Квадратный корень из коэф.множ.детер.-коэф.множ
корреляции.
Границы изменения коэф множ корреляции от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. При линей. Завис-ти коэф множ коррел.можно определить через матрицу парных коэф корреляции:
,определитель
матрицы парных коэф. Кор:
Определитель
матрицы межфакторной корреляции:
Частные
коэф кор (для
лин.связей)- х-ют тесноту связи между
результатом и соотв фактором при
устранении влияния др факторов, включенных
в ур регрессии.При двух факторах
;
.
28.мультиколлинеарность факторов.признаки и способы устранния мультикол-и.
Мультиколлинеорность-1.линейн.связь между более чем двумя экзоген.перемен;2.корректированность 2х или неск.экзоген.перемен.для проверки наличия мул-ти исп-ют матрицу коэв парной корреляц.
∆r=
Если
то
из модели исключ тот ф-р,у кот меньше
модуль
или
.если есть мулт-ть,то вычисл. ∆r11.
чем он ближе к 0,тем сильнее мульт-ть
факторови наоборот.
Устранени м-ти:
1.измен объема выборки
2.увелич вариац факторов R=Ximax-Ximin
3.исключить из модели перемен,имеющ.наиболее высок коэф межфакторной корреляции.
29.гомо- и гетероскедастичность.Графич.метод обнаружения гетероскедастичности.причины и её последствия.
Гомоскед-ть- услов независ дисперсии от номера наблюд. Усл,обеспеч. Гомоскед:
1.ср.знач случайн отклон в кажд.наблюд=0.
2.распред.отклон одинак для всех наблюд.
Гетероскед-нарушение этого усл.причина Ге: 1.неоднородн.ислед.объектов,
2.зависимость от масштаба,
3.высок темп измн отдел экзогн перемен.
Последстия-увелич.дисперс оценок,сниж их точности,все выводы получ по фишеруи по стьюд.статистиком будут смещёнными. Обнаруж Ге по график. остатков
В случ а-остатки попад.в узку. Полосу,ширина кот сущ-но меньше размаха вариации для у с крышкой,т е нет ГЕ.б-ГЕ с ростом переменной хi растёт дисперсия.в-ГЕ,кот вызыв-ся тем,что не была учтена ещё 1 линйн.независ перемен.г.-ГЕ,вызванная неучётом квадратичной,независ перемен,или неправильным выбором формы.
30.нелинейная парная регрессия.нелинейность относительно объясняющих переменных,Типы моделей и их использование.
1.Степенные или полинолиальные модели:
Y=a0+ a1*X+ a2*X2+ξ,
Y=a0+ a1*X+ a2*X2+a3*X3+ξ,
Y=a0+ a1*X+…+ am*Xm+ξ,
Эти модели м.исп-ся для моделир.завис-ти обяз.издержек У от объёма выпуска Х.Чаще исп. Полин. Модели,кот сводят к линейн моделям множ.регрес с пом змен:Х=Х1с волной.,..Хм=Хмс волной.далее исп. Методику оценок пар-ов и проверки качества модели для мнодеств регресс модели.
2.Обратная или гиперболическая модель:
Y= a0+ a1/X+ξ,
она мб исп-на для модерил связи удельн расход сырья,матер,топлива от объема выпуск.пр-ии(Х).Обращ товары-У,величина товарооботота-Х.к линейн виду эта модель м.б приведена заменой:1/Х=Хсволной.
3.полулогарифмические модели:
ln Y= a0+ a1*X+ξ, :Y= a0+ a1*lnX+ξ,
эти модели исп.при моделир темпов роста или прироста эконом показат.напр:моделир прироста объёма выпуска от%го увелич затрат ресурса.Для модел.темпов роста инфл. От объёма денеж.массы.Коэф a1 выраж.измер У из=за единичн относит прироста(Х). a1=относит измен/абсол.измен.. м.б произведена замена: ln Y= Yс волной. ln Х=Х с волной.
31.нелинейная парная регрессия.нелинейность по параметрам.линеризация.типы моделей и их исп-ие. Сводятся к моделям 1 класса(регр.нелин относ.объясняющих переменных)путём линеризации.
1. степенная модель:
Y=a0*Xа1( +ξ) ( *ξ), с пом этих моделей моделир завис.спроса на благо от его цены,от дохода.Завис.объёма выпуска от ресурсов.Для опред оценок коэф. Измен модели к лин.испол.логариф.модели. и поэтому эти модели наз-ют двойными логарифмическими: ln Y= Yс волной. ln Х=Х с волной. Коэф.эластичности:a1=(dY/Y)/(dX/X). Поэтому модель эту ещё наз-ют модель с постоянной эластичностью.