2. Четные и нечетные функции.

Определение. Функция называется четной, если ⁴. Определение. Функция называется нечетной, если . Задание. Привести примеры четных и нечетных функций. Определение. Функция, не являющейся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

3. Периодические и непериодические функции.

Определение. Функция называется периодической, если ⁵ такое число , что .

Задание. Привести примеры периодических функций. Определение. Функция, не являющаяся периодической, называется непериодической.

4. Возрастающие, убывающие и постоянные функции.

Определение. Функция называется возрастающей на множестве , если .

Определение. Функция называется убывающей на множестве , если .

Определение. Функция называется постоянной на множестве , если .

Определение. Функция называется возрастающей, если она является возрастающей на .

Аналогично даются определения убывающей и постоянной функций.

5. Ограниченные и неограниченные функции.

Определение. Функция называется ограниченной сверху на множестве , если .

Пример. Функция ограничена сверху на множестве . За в данном случае можно принять любое число . Если построить графики функций и , то первый график будет расположен не выше второго (на рисунке приведен случай ).

Определение. Функция называется ограниченной снизу на множестве , если .

Пример. Функция ограничена снизу на множестве . За в данном случае можно принять любое число . Если построить графики функций и , то первый график будет расположен не ниже второго (на рисунке приведен случай ).

Определение. Функция называется ограниченной на множестве , если .

Пример. Функция ограничена на множестве . За в данном случае можно принять любое число . Если построить графики функций , и , то первый график будет расположен между вторым и третьим (на рисунке приведен случай ).

Замечание. Очевидно, что ограниченная на множестве функция является на этом множестве ограниченной сверху и снизу.

Вопрос. Будет ли верно обратное утверждение?

Определение. Функция называется ограниченной сверху, если она является ограниченной сверху на .

Аналогично даются определения ограниченной снизу и ограниченной функции.

Теорема. Функция , где - ограниченная.

Доказательство. Надо доказать, что ограничена на . Положем и проверим выполнение определения функции, ограниченной на множестве. Действительно, .

6. Явные и неявные функции.

Определение. Если функция от задана равенством , не разрешенным относительно , то она называется неявной функцией от , в противном случае – явной.

Примеры.

1. - неявная функция.

2. - явная функция.

Замечание. Понятие явной и неявной функций связано не с природой самой функции, а лишь со способом ее задания. Однако, как правило, функцию записывают в неявном виде тогда, когда ее нельзя получить в явном.

Пример. .