8.3.3 Спосіб 3 отримання розв’язку задачі за розв’язком дз
Розглянемо третій спосіб отримання розв’язку задачі по рішенню двоїстої задачі.
8.3.3.1 Симетричні задачі
Розглянемо симетричну пару двоїстих задач
|
|
|
|
|
|
,
,
,
,
.
.
Нехай оптимальному розв’язку
відповідає базисна матриця
.
Визначимо відносні оцінки залишкових
змінних. За визначенням вектор відносних
змінних
.
Тоді підвектор цього вектора, що відповідає залишковим змінним
.
Таким чином, в симетричній
парі оптимальні значення двоїстих
змінних
задаються відносними
оцінками залишкових змінних
прямої задачі в точці оптимуму.
Виконаємо те ж саме для ДЗ.
Нехай базисна матриця
відповідає оптимальному розв’язку
.
Визначимо відносні оцінки надлишкових
змінних. Підвектор вектора
,
що відповідає надлишковим змінним
.
Значить, оптимальні значення
двоїстих змінних
задаються відносними
оцінками надлишкових змінних
ДЗ в точці оптимуму, узятими зі знаком
«–».
8.3.3.2 Загальний випадок
У точці оптимуму :
– відносна оцінка (коефіцієнт
-
рядка) залишкової змінної
(
)збігається
із значенням двоїстої змінної
;
– відносна оцінка (коефіцієнт
-
рядка) надлишкової змінної
,
узята зі зворотним знаком, збігається
зі значенням відповідної двоїстої
змінної.
8.3.4 Приклад 3
За розв’язком прямої знайти розв'язок двоїстої задачі.
Пряма задача
Пряма задача у канонічній формі:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двоїста задача
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Початкова симплекс-таблиця прямої задачі:
-
БЗ
Pозв.
(min)5
3
2
2
-1
0
-1
-1
0
0
0
25
-1
-2
3
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
0
0
0
1
0
0
10
2
3
1
4
0
1
0
0
0
0
0
40
1
1
-3
-1
0
0
-1
0
0
1
0
10
3
1
4
2
0
0
0
-1
0
0
1
5
Таблиця 4
Таблиця 5 відповідає оптимальному розв’язку задачі.
-
БЗ
Pозв.
(max)
1/3
0
11/3
5/3
0
2/3
0
0
80/3
-7/3
0
-11/3
-2/3
0
1/3
0
1
-1
0
0
25/3
-1/3
0
10/3
7/3
0
1/3
1
0
0
0
0
10/3
-1/3
0
-2/3
1/3
1
1/3
0
0
0
-1
0
10/3
2/3
1
1/3
4/3
0
1/3
0
0
0
0
-1
40/3
Таблиця 5
Спосіб 1. Оптимальний розв’язок двоїстої задачі знаходимо із співвідношення:
,
де - базисна матриця, що відповідає оптимальному базису ДБР ,
–
підвектор коефіцієнтів
цільової функції, що відповідають
базисним змінним оптимального розв’язку
.
Перепишемо початкову та оптимальну таблиці ПЗ так, як показано в таблицях 6 і 7:
БЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
5 |
2 |
2 |
3 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
25 |
|
-1 |
3 |
-1 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
10 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
40 |
|
1 |
-3 |
-1 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
10 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
Таблиця 6
БЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
1/3 |
11/3 |
5/3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2/3 |
|
|
80/3 |
|
2/3 |
1/3 |
4/3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
1/3 |
0 |
0 |
40/3 |
|
-1/3 |
-2/3 |
1/3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
0 |
0 |
10/3 |
|
-1/3 |
10/3 |
7/3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1/3 |
-1 |
0 |
10/3 |
|
-7/3 |
-11/3 |
-2/3 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1/3 |
0 |
-1 |
25/3 |
Таблиця 7
З оптимальної симплекс-таблиці виділяємо обернену базисну матрицю, що відповідає оптимуму:
.
При знаходженні матриці
було використано факт,
що перетворення матриці
до вигляду
дозволяє одержати матрицю
,
де
–
одинична матриця. З урахуванням того,
що
= (2, 0, 0, 0), маємо
.
Спосіб 2. В оптимальній таблиці прямої задачі (див. табл. 4) базисними є змінні , , , . Отже, за співвідношеннями доповнюючої нежорсткості відповідні цим змінним обмеження-нерівності двоїстої задачі в точці оптимуму виконуються як рівності. Тобто, одержимо таку систему лінійних рівнянь.
Згідно основної теореми двоїстості розв’язки прямої і двоїстої задач (якщо вони існують) співпадають. Перевіримо:
.