Алгоритм двоїстості

Крок 1. Побудувати і розв’язати двоїсту задачу оптимізації функції , отримати і .

Крок 2. (за теоремою 2).

Крок 3. Визначення значень компонент розв’язку (використовуючи СДН)

3.1. Цикл по змінних

Якщо змінна у оптимальному розв’язку базисна, то відповідну їй -у нерівність початкової системи прямої задачі замінити рівнянням-рівністю.

3.2. Після того, як частина рівнянь-нерівностей початкової системи прямої задачі заміниться рівностями, розв’язати цю систему рівнянь і знайти таким чином шукані значення змінних розв’язку .

8.3.2.2. Симетрична пара задач

Розглянемо симетричну пару двоїстих задач.

ПЗ

…

	– основні змінні,
	– залишкові змінні.

ДЗ

…

	– основні змінні,
	– надлишкові змінні.

У симетричних двоїстих задачах змінні можуть бути згруповані у взаємозв'язані пари і ( , ), де і – залишкові і надлишкові змінні відповідно прямої і двоїстої задач.

ПЗ

…

…

ДЗ

…

…

Властивості взаємозв'язаних пар змінних симетричної пари.

У кожній парі одна змінна є основною для однієї із задач ( і ), а інша додатковою для її двоїстої задачі (залишковою в ПЗ, або надлишковою в ДЗ).

1. Якщо одна із змінних пари є базисною для своєї задачі, то відповідна їй змінна є небазисною в двоїстій задачі і навпаки.

2. Друга властивість слідує з СДН: якщо для оптимального розв’язку однієї з задач яке-небудь обмеження-нерівність задовольняється як строга нерівність, тобто залишкова змінна 0 або надлишкова змінна 0, то відповідна йому змінна в оптимальному розв’язку двоїстої задачі ( або ) дорівнює нулю. І навпаки, якщо якась змінна ( або ) в оптимальному розв’язку додатна (базисна), то відповідна їй нерівність двоїстої задачі її оптимальним розв’язком згортається в рівність.

Таким чином, співвідношення доповнюючої нежорсткості

;

для симетричних задач набувають дещо іншого вигляду.

В оптимальних розв’язках:

– якщо > 0, то , значить ;

– якщо , то , отже .

Тобто або або = 0 (або і те і інше у разі виродженості одного з розв’язків), що еквівалентно , . Аналогічно отримуємо, що ,

Отже, СДН для симетричних задач:

, ;	(28)
, .	(29)

Для несиметричних задач такого групування двоїстих змінних у взаємопов'язаної пари немає.

У симетричних задачах Крок 3 алгоритму двоїстості можна видозмінити.

Крок 3. Використовуючи відповідність між змінними прямої і двоїстої задач, і знаючи, які змінні двоїстої задачі є в оптимальному розв’язку базисними, а які ні, згідно СДН (28)–(29) визначити тим самим базисні та небазисні змінні в оптимальному розв’язку прямої задачі. У канонічній формі ПЗ небазисні змінні замінити на 0 і вирішити отриману квадратну систему рівнянь.