8.1.3 Несиметрична пара двоїстих задач

Будується за визначенням ДЗ згідно п'яти правил її побудови.

Пряма задача

,	(7)
,	(8)
.	(9)

Двоїста задача

,	(10)
,	(11)
.	(12)

Символи “ ” означають, що немає обмежень на знак змінної.

Самостійно показати, що задача, двоїста до задачі (10)–(12) збігається із задачею (7)–(9) (не забути привести ДЗ (яка при побудові виступає як пряма) до канонічної форми).

8.1.4 Приклад 1 побудови дз

Пряма задача:

,

,

,

,

,

.

Пряма задача у канонічній формі:

,
,	:
,	:
,	:
.

Двоїста задача:

	:
	:
	:
	:
	:

З урахуванням наступного

умови ДЗ можна переписати так:

,
,	:
,	:
,	:
.	:

Отже, якщо змінна початкової задачі має обмеження на знак, то відповідне обмеження двоїстої задачі має нерівність, а якщо змінна без обмеження, то обмеження двоїстої – у вигляді рівності і навпаки.

8.1.5 Приклад 2 побудови дз

Пряма задача:

,

,

,

,

.

Пряма задача у канонічній формі:

Двоїста задача:

8.1.6 Дз для злп в загальній формі

Нехай маємо ЗЛП в загальній формі:

,

,

,

,

,

.

Тоді її ДЗ:

,

,

,

,

,

.

Відповідність між прямою і двоїстою задачею може бути відображена таблицею 2.

Таблиця 2

ПЗ	ДЗ
змінним ПЗ відповідають обмеження ДЗ
обмеженням ПЗ відповідають змінні ДЗ

8.2. Основні теореми двоїстості

Теорема 1 (основні співвідношення двоїстості).

Нехай пряма і двоїста задачі мають допустимі розв’язки. І нехай і – це деякі допустимі розв’язки прямої і двоїстої задач відповідно. Тоді справедлива нерівність:

,

(13)

при чому для досягнення рівності в (13) необхідно і достатньо виконання умов:

,	(14)
.	(15)

Доведення.

Не втрачаючи загальності, доведення теореми проведемо для симетричної пари двоїстих задач. У ній пряма задача має вигляд:

,	(16)
,	(17)
,	(18)

а двоїста:

	(19)
	(20)
	(21)

Спочатку доведемо першу частину теореми.

Помножимо у нерівність з системи (17) на відповідну їй змінну . Тоді з урахуванням невід’ємності (співвідношень (21)) отримуємо:

,

просумувавши по , приходимо до нерівності:

.

(22)

Аналогічно з (20) з урахуванням (18) отримуємо:

.

(23)

Ліві частини нерівностей (22) і (23) відрізняються тільки порядком підсумовування, значить

(24)

.

Тобто співвідношення (13) справедливе.

Тепер доведемо другу частину теореми.

Необхідність

Нехай співвідношення (13) виконується як рівність. Покажемо, що при цьому виконуватимуться умови (14) і (15).

Якщо (13) - рівність, то подвійна нерівність (24) виконується як строга рівність:

.

Розглянемо праву частину співвідношення.

,

.

В силу (17) і (21) кожний з доданків в сумі по не додатній, а оскільки їх сума дорівнює нулю, то і кожний з доданків дорівнюватиме нулю. Тобто маємо

.

Таким чином довели необхідність виконання співвідношень (14) при рівності в (13). Аналогічно з (24) отримаємо необхідність (15).

Достатність

Достатність (2) і (3) для досягнення рівності в (1) очевидна: їх треба просумувати по та відповідно:

Звідки слідує . Що і потрібно було довести. ■

Співвідношення (14) і (15) називаються співвідношеннями доповнюючої нежорсткості (СДН).

Наслідок 1 теореми 1.

Нехай , – допустимі розв’язки прямої і двоїстої задач, для яких виконується: . Тоді , – є розв’язками прямої і двоїстої задач відповідно.

Доведення.

Згідно теореми 1, для довільних допустимих розв’язків , маємо

.

Оскільки також один з допустимих розв’язків двоїстої задачі, то

, .

За умовою цього наслідку маємо:

, .

Звідси , значить – розв’язок задачі. ■

Аналогічно доводиться оптимальність .

Наслідок 2 теореми 1.

Якщо ЦФ ПЗ не обмежена зверху, то ДЗ не має допустимих розв’язків.

Доведення

Нехай в протиріччя з твердженням наслідку, ПЗ має необмежену зверху ЦФ, а ДЗ має допустимий розв’язок. По умові наслідку ПЗ має допустимі розв’язки. Згідно теореми 1 для будь-якого допустимого розв’язку прямої задачі є значення ЦФ двоїстої задачі, яке обмежує зверху значення ЦФ ПЗ:

.

Але це є протиріччям до припущення про необмеженість ЦФ ПЗ. Приходимо до висновку, що двоїста задача не має допустимих розв’язків. ■

Розглянемо твердження, зворотне наслідку 1.

Теорема 2 (про рівність значень пари двоїстих задач).

Нехай пряма і двоїста задачі мають розв’язки і відповідно. Тоді виконується рівність:

.

Доведення

Доведення проведемо для несиметричної пари задач:

Пряма	Двоїста

Хай – ДБР, що є розв’язком прямої задачі. Тоді існує базис ДБР , при якому вектор відносних оцінок небазисних змінних буде невід’ємний:

.

(25)

По аналогії вектору сформуємо вектор :

,

де - базисна матриця, що відповідає базису ДБР .

За визначенням

.

(26)

Сформуємо вектор відносних оцінок усіх змінних

,

,

з урахуванням (25) і (26) маємо

,

.

(27)

Визначимо рівністю:

.

Тоді, замінивши вираз на в нерівності (27), отримаємо

,

.

Після транспонування отримаємо:

.

Звідси є допустимим розв’язком двоїстої задачі. Визначимо значення ЦФ двоїстої задачі в цій точці:

.

Звідси за наслідком 1 теореми 1 є розв’язком двоїстої задачі, причому значення задач збігаються. ■

Остання теорема дає нам один із способів знаходження оптимального розв’язку двоїстої задачі. Його можна знайти із співвідношення

.

де - базисна матриця, що відповідає оптимальному базису ДБР .

При розв’язанні прямої задачі можлива тільки одна із наступних ситуацій (що взаємно виключають одна одну):

I	Пряма задача має розв’язок
II	Цільова функція необмежена зверху на множині допустимих розв’язків
III	Пряма задача не має розв’язків.

Аналогічно, при рішенні двоїстої задачі можлива тільки одна з наступних ситуацій (що взаємно виключають одна одну):

I’	Двоїста задача має розв’язок.
II’	Цільова функція двоїстої задачі не обмежена знизу на множині допустимих розв’язків.
III’	Двоїста задача не має допустимих розв’язків.

Комбінуючи попарно ситуації I, II, III з I’, II’, III’ отримуємо, що принципово можливі наступні 9 пар, які можна представити у вигляді таблиці 3.

	I (OK)	II ()	III ()
I' (OK)	1)	-	-
II' (–)	-	-	3)
III' ()	-	2)	4)

Таблиця 3

Згідно наступної теореми, ніякі пари, окрім 1), 2), 3), 4) не можливі взагалі.

Теорема 3 (двоїстості).

Для пари взаємодвоїстих задач має місце один з наступних взаємовиключних випадків:

1)	Пряма і двоїста задачі мають розв’язки, причому значення задач збігаються.
2)	Пряма задача має не порожню множину допустимих розв’язків, а ЦФ не обмежена зверху; двоїста задача не має допустимих розв’язків.
3)	Двоїста задача має не порожню множину допустимих розв’язків, її ЦФ не обмежена знизу; пряма задача не має допустимих розв’язків.
4)	Пряма і двоїста задачі не мають допустимих розв’язків.

Без доведення.

8.3. Отримання розв’язку задачі за розв’язком двоїстої задачі

Це нам потрібно із таких причин:

- двоїсті змінні мають економічний зміст (пізніше ми покажемо, що вони дають значення цінностей ресурсів);

- іноді ДЗ розв’язати простіше, ніж ПЗ.

8.3.1 Спосіб 1 отримання розв’язку задачі за розв’язком ДЗ

Оптимальний розв’язок двоїстої задачі можна знайти із співвідношення

,

де - матриця, обернена до базисної, яка відповідає оптимальному базису ДБР .

8.3.2 Спосіб 2 отримання розв’язку задачі за розв’язком ДЗ

Базується на співвідношеннях доповнюючої нежорсткості.

8.3.2.1 Загальний випадок

Розглянемо загальну ЗЛП (ПЗ)

,

,

,

,

.

Нехай і - розв’язки ПЗ і ДЗ відповідно. Випишемо для них СДН:

,

.

Згідно СДН, існує взаємозв'язок між –м рівнянням прямої задачі та змінною двоїстої задачі:

> 0  -е рівняння виконується як строга рівність

, ,

а також між –м рівнянням двоїстої задачі і змінною прямої задачі:

> 0  -е рівняння виконується як строга рівність

.

Використовуємо теорему 2 двоїстості і співвідношення доповнюючої нежорсткості для розробки процедури знаходження розв’язку прямої задачі з розв’язком двоїстої. Дану процедуру називають алгоритмом двоїстості.

Нехай маємо деяку задачу оптимізації функції (пряму задачу) (в даному випадку не важливо – ПЗ на максимум чи на мінімум).