17.Функция распределения вероятностей случайной величины. Ее свойства.
Функция распределения вероятностей – это универсальный закон задания любой случайной величины (как дискретной, так и непрерывной) Она определяется как F(x) = P (X меньше х), х принадлежит от минус бесконечности до плюс бесконечности.Свойства функции распределения:
F(x) принадлежит [0; 1]
F(x) – неубывающая функция, то есть x1 < x2, следовательно, , то есть F(x2) больше или равно F(x1)
F(x2) - F(x1) = Р (Х меньше х2) – Р(Х меньше х1), (Х меньше х2) = (Х меньше х1) + (х1 меньше или равно Х меньше х2)
Р(Х меньше х2) =Р (Х меньше х1) + Р(х1 меньше или равно Х меньше х2) – по теореме сложения вероятностей, следовательно
Р(Х меньше х2) - Р (Х меньше х1) +Р (х1 меньше или равно Х меньше х2) больше или равно 0
F(x2) - F(x1) больше или равно 0, следовательно F(x2) больше или равно F(x1)
Предел F(x) при х стремящемся к минус бесконечности равен 0, так как F (минус бесконечности) = Р (Х меньше минус бесконечности) = 0
Предел F(х) = 1 при х стремящемся к бесконечности, так как F (плюс бесконечности) = Р (Х меньше плюс бесконечности) = 1.
Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая(кусочно-непрерывная) Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
1/6 |
18. Вероятность отдельно взятого значения нсв. Вероятность попадания нсв в заданный интервал.
Теорема: Вероятность любого отдельно взятого значения НСВ равна нулю. Поэтому НСВ можно определить как: случайная величина непрерывна, если вероятность любого отдельно взятого ее значения равна нулю.
Вероятность попадания НСВ в заданный интервал
Вер. попадания СВ Х в задан. Интервал [а;в] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до в, то есть Р (а меньше или равно Х меньше или равно в) = интеграл от а до в фи (х)dx = F(в) – F(а)
При этом плотность вероятности неотрицательная функция, то есть фи(х) больше или равно 0.
Наиболее часто встречаемые законы распределения дсв.
Биномиальным закон распределения Д.С.В. ДСВ распределятеся по этому закону с параметрами n и р, если мн-во ее значений совпадает со мн-ом целых неотрицательных чисел от 0 до n, а соответствующие им вероятности рассчитываются по формуле Бернулли Pn (k)=Cn^k* p^k *q^(n-k), при этом М(Х) = np, D(x) = npq
Распределение Пуассона дсв распределяется по закону Пуассона с параметром
,
где
,
и равно np? Если множество
ее значений совпадает с множеством всех
целых неотриц чисел от 0 до n,
а соответсвующие им вероятности
вычисляются по формуле Пуассона
.
Дисперсия = Мат ожиданию =лямда
Гипергеометрическое распределение
Принимают значения целые неотрицательные числа от о до n. Имеется мн-во, состоящее из N эл-ов, из которых K – эл-ов обладают некоторыми признаками, случайным образом извлекаются n-эл-ов из множества. За случайную величину Х принимается число эл-ов из n-штук, обладающие данным признаком.
,
,
,
,
.
Мат ожидание равно произведению n
и К деленное на N