1.
1.Матрицы и линейные операции над ними
Равенство
матриц. Две матрицы 
и 
одинакового
размера m на nназываются равными,
если 
, i
= 1,2,…,m, j=1,2,…,n.
Если матрицы A и B равны, то будем писать A=B.
Линейные
операции. Суммой двух матриц A и B размера m
на n называется
матрица C
размера m на n, элементы
которой определяются равенством
Сумму матриц A и B будем обозначать C=A+B.
Матрица 
называется противоположной к
матрице 
.
Теорема
2.1 Операция сложения
матриц обладает
следующими свойствами: для любых
матриц 
и
нулевой матрицы 
1) A+B=B+A; (перестановочность или коммутативность операции сложения
2) (A+B)+C = A+(B+C); (ассоциативность или сочетательное свойство)
3) A+O = O+A =A;
4) A+(-A)=(-A)+A=O.
Произведение
матрицы A на
число 
будем
обозначать 
.
Теорема 2.2 Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:
1) 
;
2) 
;
3) 
(Распределительное
свойство относительно сложения матриц);
4) 
(Распределительное
свойство относительно сложения чисел);
5) -A=(-1)A.
Произведение матриц A и B будем обозначать C=AB.
Из
определения следует, что
произведение AB определено
лишь в том случае, когда число столбцов
матрицы A
совпадает с числом строк матрицы B. Это
означает, что оба произведения AB
и BA определены
тогда и только тогда, когда матрицы
A и B имеют размеры 
и 
соответственно.
Следовательно равенство AB=BA возможно
лишь для квадратных
матриц одинакового порядка. Однако
и в этом случае произведение матриц,
вообще говоря, зависит от порядка
сомножителей.
Матрицы A и B называются перестановочными или коммутирующими, если AB=BA.
Теорема 2.3 Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:
1) (AB)C=A(BC); (Свойство ассоциативности)
2) 
,
для любого действительного числа
3) A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC (Свойство дистрибутивности), для любых матриц A, B, C,для которых левые части равенств имеют смысл.
Справедливость свойств 2) и 3) доказываются непосредственно.
Транспонированная
матрица также обозначается символами 
и 
.
Заметим,
что при транспонировании матрицы её
строки становятся столбцами матрицы 
,
с теми же номерами, а столбцы - строками.
Теорема 2.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:
1) 
;
2) , Для любого действительного числа ;
3) 
;
4) 
,
для любых матриц A и B, для которых имеют
смысл левые части равенств.
Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения.
2.Определители
Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленомот элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равны).Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A). Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):
Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):
разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):
Свойства
1)При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
2) Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю
3) Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
4) Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя
5) Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю
6) Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю
7) Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю
8) Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей