16. Взаимное положение двух плоскостей
Опр. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.
Теорема1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство:
Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости , пересекающиеся в точке А, в1 и в2 - соответственно параллельные им прямые в
плоскости . Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым в1и в2, параллельны плоскости , и поэтому они не
пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2) , параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Мы пришли к противоречию ЧТД.
Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Теорема2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
Пусть - плоскость, в -перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой в с плоскостью прямую а,
перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и в плоскость . Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и в. Т. к. прямые а и в перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. И т.д.
17.Прямая может располагаться относительно плоскости параллельно, пересекать ее и в частном случае пересекать под прямым углом.
18. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости
19.Построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек, общих для обеих заданных плоскостей, или одной такой точки при известном направлении искомой линии.
Теперь рассмотрим частные случаи построения линии пересечения двух плоскостей. Построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек, общих для обеих заданных плоскостей, или одной такой точки при известном направлении искомой линии.
На рис.52 и 53 для построения линии пересечения плоскостей можно использовать точку N пересечения следов PП1 и ГП1 и точку N' пересечения следов PП2 и ГП2. Прямая NN', проходящая через эти точки, является искомой линией пересечения.
На рис.53 проекция линии пересечения NN' совпадает со следом PП1, так как плоскость Р является горизонтально проецирующей.
В случае на рис. 54 фронтальные следы плоскостей параллельны. Это значит, что искомая прямая параллельна плоскости П2 и для плоскостей P и Г является фронталью. Чтобы провести эту фронталь, достаточно построить одну принадлежащую ей точку. Используем точку К пересечения следов PП1 и ГП1. Построив проекции К1 и К2, проводим l1 параллельно оси х, а l2 – параллельно следам PП2 и ГП2.
Гх
Рис. 52 Рис. 53 Рис. 54
На рис. 55 представлены случаи построения линии пересечения горизонтальной плоскости с плоскостью общего положения, заданной треугольником (рис. 55, а) и следами (рис. 55, б). Так как Р || П1, то линия пересечения является горизонталью. Чтобы построить эту горизонталь, достаточно построить две точки N и N', общие для обеих заданных плоскостей (рис. 55, а), или одну точку при известном направлении искомой линии (рис. 55, б).