1.

«Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости»

Основная задача начертательной геометрии состоит в изучении методов построения изображения пространственных форм и в разработке способов решения пространственных задач при помощи изображений.

Прямой задачей начертательной геометрии является задача построения чертежа, т.е. изображения предмета на плоскости и изучение способов этого построения.  Обратной задачей является восстановление по проекционному чертежу формы, размеров оригинала, взаимного расположения его элементов и других геометрических параметров.

2.

Различают два вида проецирования:

1)Центральное – проецирующие лучи выходят из одной точки центра проецирования, удаленной на определенном (конечном) расстоянии от плоскости проекций.

2) Параллельное – частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые.

В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные (ортогональные), когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90°

3.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти (квадранты). Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти

При решении задач бывает недостаточно двух проекций. Поэтому вводят третью плоскость перпендикулярно плоскостям П₁ и П₂. Ее называют профильной плоскостью (П₃).Три плоскости делят пространство на 8 частей – октантов.Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y и z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке О.Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П₁ и П₃ вращают до совмещения с плоскостью П₂ .При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают.Для нахождения профильной проекции точки поступают следующим образом: из фронтальной проекции А₂ точки А проводят прямую перпендикулярно оси Z и на этой прямой от оси z откладывают отрезок, равный координате у точки А .

4.

Ортогональной проекцией прямой на плоскость является прямая линия, за исклю-

чением того случая, когда прямая перпендикулярна к плоскости проекций.

ПРЯМАЯ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ – это прямая, расположенная наклонно (под

произвольным углом) ко всем трем плоскостям проекций. Каждая из проекций такой пря-

мой меньше ее натуральной величины.

Прямые общего положения подразделяются на восходящие и нисходящие.

Восходящая прямая по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх. Проек-

ции такой прямой ориентированы относительно оси x одинаково.

Нисходящая прямая по мере удаления от наблюдателя направлена вниз. Ее проек-

ции ориентированы относительно оси x противоположно.

5.

Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС, где AС = A₁B₁, СB = DZ , угол a - угол наклона отрезка к плоскости П₁. Для этого на эпюре (рис. 21) из точки B₁ под углом 90^ проводим отрезок B₁B₁⁰ = DZ, полученный в результате построений отрезок A₁B₁⁰ и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B₁A₁B₁⁰ = α. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника. Однако все построения можно объяснить, как вращение треугольника АВС вокруг стороны AС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П₁, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Для определения b - угла наклона отрезка к плоскости П₂ построения аналогичные (рис. 22). Только в треугольнике АВС сторона ВС = DU и треугольник совмещается с плоскостью П₂.

6. Принадлежность точки прямой

Т еорема: Если в пространстве точка принадлежит прямой, то на эпюре проекции этой точки находятся на одноименных проекциях прямой (рис. 18):

М  АВ,

Е  АВ.

Справедлива обратная теорема:

М₁  A₁B₁;

М₂ A₂B₂  М АВ.

Деление отрезка прямой в данном соотношении

чтобы некоторый отрезок разделить на эпюре в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции.

Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ: А₂К₂ : К₂В₂ ¹А₁К₁ : К₁В₁ Þ КÏАВ

7. След – это точка пересеченная прямой с плоскостью проекций .Так как след принадлежит одной из плоскостей проекций, то его одна координата должна быть равна нулю

Для построения горизонтального следа прямой ….. необходимо фронтальную проекцию ….. прямой ….. продолжить до пересечения с осью Х, затем из точки пересечения с осью Х восстановить к ней перпендикуляр, и продолжить горизонтальную ….. проекцию прямой …… до пересечения с этим перпендикуляром.

8. прямые частного положения, т. е. прямые, расположенные определенным образом относительно плоскостей проекций: параллельные, перпендикулярные и принадлежащие плоскостям проекций.

Прямые, параллельные плоскостям проекций:

1. Горизонтальная прямая h (рис. 2.2) – горизонталь

Горизонтальная прямая – это прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций π₁.

Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π₁ (координаты Z всех точек прямой одинаковы), то фронтальная и профильная проекции прямой соответственно параллельны координатным осям Х и Y. На плоскость проекций π₁ проецируются без искажения отрезок прямой АВ (А₁В₁=АВ) и углы наклона прямой к плоскостям проекций π₂ и π₃ (углы β⁰ и γ⁰).

2. Фронтальная прямая f (рис. 2.3) – фронталь

Фронтальная прямая – это прямая параллельная фронтальной плоскости проекций π₂. Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π₂ (координаты Y всех точек прямой одинаковы), то горизонтальная и профильная проекции прямой соответственно параллельны координатным осям Х и Z. На плоскость проекций π₂ проецируются без искажений отрезок этой прямой CD (C₂D₂+CD) и углы наклона прямой к плоскостям проекций π₁ и π₃ (углы α ⁰ и γ ⁰)

3. Профильная прямая p (рис. 2.4)

Профильная прямая – это прямая, параллельная профильной плоскости проекций π₃ . Так как  все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π₃ (координаты Х всех точек прямой одинаковы), то горизонтальная и фронтальная проекции прямой соответственно параллельны

координатным осям Y и Z. На плоскость проекций π₃ проецируется без искажения отрезок этой прямой EF (E₃F₃=EF)и углы наклона прямой к плоскостям проекций π₁ и π₂ (углы α ⁰ и β ⁰).

Прямые, принадлежащие плоскостям проекций:Прямые, принадлежащие плоскостям проекций, являются частным случаем горизонтальных, фронтальных и профильных прямых. Характерным признаком для эпюра, на котором изображена подобная прямая будет принадлежность одной из проекций прямой соответствующей оси.

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций.

Проецирующие прямые:

Прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций – горизонтально-проецирующая прямая. Такая прямая проецируется на плоскость π₁ в точку; ее фронтальная проекция перпендикулярна оси Х. Прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций – фронтально-проецирующая прямая. Эта прямая проецируется на плоскость π₂ в точку, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Х .Прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций – профильно-проецирующая прямая. Эта прямая проецируется на плоскость π₃ в точку, а ее фронтальная проекция перпендикулярна оси Z.